Sabe-se que a indústria de computadores utiliza, como um
dos componentes, GPUs (um tipo de processador especializado
em cálculos paralelos, especialmente voltado para renderização
de gráficos e vídeos). Em certo mercado, esses componentes são
fornecidos por dois fornecedores, A e B. A velocidade de
processamento, em teraflops, dos GPUs fornecidos por A, com
distribuição normal, tem média de 145 e desvio padrão igual a
12. No caso dos GPUs fornecidos por B, a velocidade de
processamento, em teraflops, com distribuição normal, tem
média de 155 e desvio padrão igual a 20.
Um lote desses processadores, de origem não identificada,
foi apreendido pela Receita Federal do Brasil e será leiloado a
um preço muito convidativo. A fabricante local de computadores
(F) está avaliando a possibilidade de fazer uma oferta e, para
tanto, deseja saber qual é o fornecedor dos equipamentos desse
lote. O edital do leilão dispõe que, pouco antes do certame, será
divulgada a velocidade média de uma amostra de 25 GPUs do
lote.
Diante das informações disponíveis, a fabricante F
estabeleceu que escolherá como produtor dos componentes o
fornecedor A, se a média da amostra for inferior a certo número y
— ainda a ser determinado com base na probabilidade de esse
critério de decisão implicar erro; caso contrário, escolherá o
fornecedor B.
Para modelar o problema e determinar o valor y, um
pesquisador da fabricante F estabeleceu as seguintes notações.
hipóteses
• H0: Os GPUs são produzidos pelo fornecedor B.
• H1: Os GPUs são produzidos pelo fornecedor A.
erros
• tipo I: Inferir que os GPUs são de A, quando, na realidade,
são de B.
• tipo II: Inferir que os GPUs são de B, quando, na realidade,
são de A.
Ainda considerando a situação hipotética apresentada no texto 17A2-II e aplicando aproximação normal com base na Tabela - Normal Padrão de 0 a z, fornecida ao final do Caderno de Provas, assinale a opção em que é apresentado um valor de y para o qual a probabilidade de ocorrer o erro do tipo I seja igual à de ocorrer o erro do tipo II.
A148,75
B149,25
C149,75
D150,25
E150,75
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GabaritoA — 148,75
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Teste de hipóteses para a média: igualando erros tipo I e tipo II
Gabarito: letra A (148,75). Para que a probabilidade do erro tipo I (rejeitar H₀ quando verdadeira) seja igual à do erro tipo II (não rejeitar H₀ quando falsa), o valor crítico y deve ser o ponto médio entre as médias das duas distribuições amostrais, ponderado pelos desvios padrão das médias amostrais. Com H₀: μ = 155 (fornecedor B) e H₁: μ = 145 (fornecedor A), ambos com amostra n = 25, o ponto de equilíbrio é y = 148,75.
O problema envolve um teste de hipóteses para a média de uma população normal com variância conhecida. A regra de decisão é: se a média amostral for inferior a y, escolhe-se o fornecedor A; caso contrário, escolhe-se B. O erro tipo I ocorre quando se conclui que os GPUs são de A (média amostral < y) quando na verdade são de B (μ = 155). O erro tipo II ocorre quando se conclui que são de B (média amostral ≥ y) quando na verdade são de A (μ = 145).
Pelo Teorema Central do Limite, a média amostral de 25 GPUs tem distribuição aproximadamente normal. Sob H₀ (fornecedor B): média 155, desvio padrão da média = 20/√25 = 4. Sob H₁ (fornecedor A): média 145, desvio padrão da média = 12/√25 = 2,4.
Para que α = β, o valor crítico y deve ser tal que a distância de y até a média de cada distribuição, medida em desvios padrão das respectivas médias amostrais, seja a mesma. Isso ocorre quando y é o ponto que equilibra as duas distribuições, dado por:
Substituindo: .
Nesse ponto, α = β = 5,94%, como confirmado no material de apoio que apresenta exatamente este mesmo problema com parafusos (médias 155 e 145, desvios 20 e 12, n = 25) e conclui que o ponto de equilíbrio é c = 148,75.
Caso
Atribuição de y
Relação entre α e β
Resultado
A (gabarito)
y = 148,75
α = β (ponto de equilíbrio ponderado)
Correto
B
y = 149,25
α > β (y acima do equilíbrio)
Incorreto
C
y = 149,75
α > β (y acima do equilíbrio)
Incorreto
D
y = 150,25
α > β (y acima do equilíbrio)
Incorreto
E
y = 150,75
α > β (y acima do equilíbrio)
Incorreto
H₀ verdadeira (B)
H₁ verdadeira (A)
Decide B (média ≥ y)
Erro tipo I (α)
Decisão correta
Decide A (média < y)
Decisão correta
Erro tipo II (β)
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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O valor 148,75 é exatamente o ponto em que as probabilidades dos erros tipo I e tipo II se igualam. A demonstração: sob H₀, a média amostral tem distribuição N(155; 4²); sob H₁, N(145; 2,4²). O valor crítico que equilibra as caudas é a média ponderada das médias pelos desvios padrão das médias amostrais: . Nesse ponto, a distância padronizada de y até cada média é a mesma (em módulo), garantindo α = β.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O valor 149,25 é maior que o ponto de equilíbrio 148,75. Com y = 149,25, a região de rejeição (média < y) fica maior sob H₀, aumentando a probabilidade do erro tipo I em relação ao erro tipo II. Ou seja, α > β. O candidato que escolhe esta opção provavelmente errou ao calcular o ponto médio simples entre 145 e 155 (que seria 150) e ajustou incorretamente.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O valor 149,75 também é maior que o ponto de equilíbrio. Quanto maior y, maior a região de rejeição (média < y), o que aumenta α e diminui β. Em y = 149,75, a probabilidade do erro tipo I é claramente superior à do erro tipo II. Este valor está mais próximo do ponto médio simples (150) do que do ponto de equilíbrio correto.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O valor 150,25 é ainda maior, afastando-se ainda mais do ponto de equilíbrio. Com y = 150,25, a região de rejeição sob H₀ é bastante ampla, tornando α muito maior que β. Este valor não corresponde a nenhum critério de equilíbrio entre os erros.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O valor 150,75 é o mais distante do ponto de equilíbrio entre as alternativas. Com y = 150,75, a probabilidade do erro tipo I é ainda maior, enquanto o erro tipo II diminui. Este valor está próximo do ponto médio simples (150) mais o desvio padrão da média de B (4) dividido por algo, mas não corresponde a nenhum critério de equilíbrio.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre o ponto médio simples das médias (145 e 155 → 150) e o ponto de equilíbrio ponderado pelos desvios padrão das médias amostrais. Como os desvios padrão são diferentes (4 para B e 2,4 para A), o ponto de equilíbrio não é 150, mas 148,75 — mais próximo da média de A, que tem menor variabilidade. O candidato que calcula apenas a média aritmética cai nas alternativas C, D ou E.
PEGA ESSA DICA!
Para igualar α e β em um teste entre duas médias com variâncias conhecidas, use a fórmula do ponto de equilíbrio: , onde σ_A e σ_B são os desvios padrão das médias amostrais (σ/√n). Memorize essa estrutura: ela aparece com frequência em questões de teste de hipóteses com duas populações.