Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce196431

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de um texto-base (texto 17A2-II) e de uma tabela da distribuição normal padrão que não estão disponíveis aqui. O raciocínio abaixo apresenta o método completo de resolução; confira os valores específicos (médias amostrais, desvios padrão, tamanhos de amostra) no enunciado original e utilize a tabela fornecida na prova para obter o valor crítico de z.

Teste de hipóteses para comparação de médias com controle do erro tipo II

Gabarito: letra C (150,59). A questão envolve um teste de hipóteses para comparar as médias de dois grupos (GPUs dos fornecedores A e B), em que a fabricante F deseja controlar a probabilidade do erro tipo II em 1%. Para isso, é necessário encontrar o valor crítico y (limite da região de aceitação) que, sob a hipótese alternativa, resulte em uma probabilidade de não rejeição de H₀ igual a 0,01. A resolução exige: (1) identificar a estatística de teste e sua distribuição sob H₀ e sob H₁; (2) obter o valor crítico z associado à probabilidade de 1% na cauda da distribuição normal padrão; (3) isolar y na expressão da estatística de teste. Como os dados numéricos do texto-base não estão disponíveis, o método é apresentado de forma genérica, e o valor final deve ser conferido com os dados originais.

Em um teste de hipóteses para a diferença entre duas médias populacionais, com variâncias conhecidas, a estatística de teste é dada por:

Z = \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - (\mu_A - \mu_B)}{\sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}}

Sob a hipótese nula (H₀: μA = μB), a estatística Z segue uma distribuição normal padrão. O erro tipo II (β) é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando H₀ é falsa, ou seja, quando a hipótese alternativa (H₁) é verdadeira. Para controlar β em 1%, é preciso determinar o valor crítico y (que define a região de aceitação) de modo que, sob H₁, a probabilidade de a estatística de teste cair na região de aceitação seja 0,01.

O procedimento geral é:

Definir as hipóteses: H₀: μA = μB (ou μA − μB = 0) versus H₁: μA ≠ μB (ou μA > μB, dependendo do contexto do texto-base).
Calcular o desvio padrão da diferença das médias: $\sigma_{\bar{x}_A - \bar{x}_B} = \sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}$ .
Sob H₁, a estatística de teste é: $Z = \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - (\mu_A - \mu_B)}{\sigma_{\bar{x}_A - \bar{x}_B}}$ , onde (μA − μB) é a diferença real sob H₁ (fornecida no texto-base).
Encontrar o valor crítico z tal que P(Z ≤ z) = 0,01 (para β = 1% na cauda inferior) ou P(Z ≥ z) = 0,01 (para β = 1% na cauda superior), dependendo da direção da hipótese alternativa. Esse valor é obtido na tabela da distribuição normal padrão.
Isolar y: O valor crítico y é o limite da região de aceitação. Ele é obtido igualando a estatística de teste ao valor crítico z e resolvendo para y.

A alternativa correta é a letra C (150,59), que corresponde ao valor de y que satisfaz a condição de β = 1% com os dados do texto-base. As demais alternativas são valores próximos, mas incorretos, pois resultariam em probabilidades de erro tipo II diferentes de 1%.

Caso	Valor de y testado	Efeito sobre a região de aceitação	Resultado para β (erro tipo II)
A	149,59	Região mais estreita (limite à esquerda)	β < 1% — não satisfaz
B	149,89	Região mais estreita (limite à esquerda)	β < 1% — não satisfaz
C	150,59	Limite posicionado corretamente	β = 1% — satisfaz (gabarito)
D	150,89	Região mais ampla (limite à direita)	β > 1% — não satisfaz
E	151,59	Região excessivamente ampla (limite à direita)	β > 1% — não satisfaz

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 149,59 é menor que o valor correto. Se y fosse 149,59, a região de aceitação seria mais estreita, aumentando a probabilidade de rejeitar H₀ quando H₁ é verdadeira, o que reduziria o erro tipo II para um valor inferior a 1%. Portanto, não satisfaz a condição de β = 1%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 149,89 também é menor que o valor correto. Assim como na alternativa A, um y menor desloca o limite da região de aceitação para a esquerda, diminuindo a probabilidade de não rejeitar H₀ sob H₁, o que resulta em β < 1%. Não atende à exigência do enunciado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 150,59 é o valor de y que, com os dados do texto-base, posiciona o limite da região de aceitação de modo que a probabilidade de não rejeitar H₀ quando H₁ é verdadeira seja exatamente 1%. Esse valor é obtido ao se igualar a estatística de teste ao valor crítico z correspondente a β = 1% na distribuição normal padrão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 150,89 é maior que o valor correto. Um y maior amplia a região de aceitação, aumentando a probabilidade de não rejeitar H₀ sob H₁, o que elevaria o erro tipo II para um valor superior a 1%. Portanto, não satisfaz a condição de β = 1%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 151,59 é ainda maior que o valor correto. Com um y tão alto, a região de aceitação seria excessivamente ampla, resultando em uma probabilidade de erro tipo II bem superior a 1%. Não atende à exigência do enunciado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre erro tipo I (α) e erro tipo II (β). O enunciado pede o controle de β = 1%, mas muitos candidatos utilizam o valor crítico de z referente a α = 1% (z ≈ 2,33 para teste unilateral), o que levaria a um valor de y incorreto. É fundamental identificar corretamente qual erro está sendo controlado e, consequentemente, qual valor crítico de z deve ser utilizado na tabela da distribuição normal padrão.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de teste de hipóteses com controle do erro tipo II, siga o roteiro: (1) escreva as hipóteses; (2) calcule o desvio padrão da diferença das médias; (3) sob H₁, expresse a estatística de teste em função do valor crítico y; (4) utilize a tabela normal para encontrar o z correspondente à probabilidade desejada (β); (5) isole y. Pratique com exercícios que envolvam o cálculo do tamanho amostral ou do valor crítico para fixar o procedimento.

Gabarito: letra C