Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Teste de hipóteses para proporção com aproximação normal

Gabarito: letra B (5,48%). A evidência amostral será suficiente para considerar o motorista azarado se a estatística de teste $Z$ calculada a partir da amostra ultrapassar o valor crítico $z_{\alpha}$ correspondente ao nível de significância. Como a hipótese alternativa é $H_1: p > 0{,}7$ (teste unilateral à direita), o nível de significância é a área à direita do valor crítico na distribuição normal padrão. O valor 5,48% corresponde a $z_{\alpha} \approx 1{,}60$, que é o valor crítico que iguala a estatística de teste calculada com os dados do texto-base. Como os dados não estão disponíveis, o método abaixo mostra exatamente como chegar a esse número.

O problema envolve um teste de hipóteses para uma proporção populacional $p$, com aproximação pela distribuição normal. A pergunta é: qual nível de significância torna a evidência amostral suficiente para rejeitar a hipótese nula? Em outras palavras, dado o valor observado da estatística de teste, qual é a área à direita desse valor na curva normal padrão — o p-valor — que, sendo menor que o nível de significância, leva à rejeição de $H_0$.

A estrutura do teste é:

• $H_0: p = 0{,}7$ (a proporção de semáforos fechados é 0,7 — o motorista não é azarado)

• $H_1: p > 0{,}7$ (a proporção é superior a 0,7 — o motorista é azarado)

A estatística de teste é:

onde $\hat{p}$ é a proporção amostral observada, $p_0 = 0{,}7$ é a proporção sob $H_0$, e $n$ é o tamanho da amostra. Essa estatística segue aproximadamente uma distribuição normal padrão quando $n$ é suficientemente grande (regra prática: $np_0 \geq 5$ e $n(1-p_0) \geq 5$).

O nível de significância $\alpha$ é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira (erro tipo I). No teste unilateral à direita, $\alpha$ é a área à direita do valor crítico $z_{\alpha}$ na curva normal padrão. O valor crítico é o ponto que separa a região de rejeição da região de não rejeição.

Para resolver a questão, o aluno deve:

1. Identificar no texto-base os valores de $\hat{p}$ (proporção amostral de semáforos fechados no trajeto de João) e $n$ (tamanho da amostra).

2. Calcular a estatística de teste $Z$ usando a fórmula acima.

3. Localizar na Tabela Normal Padrão a área correspondente a esse valor de $Z$ (a área de 0 a $z$).

4. Como o teste é unilateral à direita, o p-valor é $1 - \Phi(Z)$, onde $\Phi(Z)$ é a função de distribuição acumulada. O nível de significância que torna a evidência suficiente é exatamente esse p-valor: se $\alpha \geq$ p-valor, rejeita-se $H_0$.

A alternativa correta (5,48%) corresponde a um valor crítico $z_{\alpha} \approx 1{,}60$, pois a área à direita de $z = 1{,}60$ na normal padrão é $1 - \Phi(1{,}60) = 1 - 0{,}9452 = 0{,}0548 = 5{,}48\%$. Isso significa que, com os dados do texto-base, a estatística de teste calculada é aproximadamente $Z \approx 1{,}60$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 2,75% corresponde a um valor crítico $z \approx 1{,}92$ (área à direita = $1 - \Phi(1{,}92) = 1 - 0{,}9726 = 0{,}0274$). Esse nível de significância é menor que o p-valor real (5,48%), o que significa que, com $\alpha = 2{,}75\%$, a evidência amostral não seria suficiente para rejeitar $H_0$. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente confundiu o nível de significância com o valor crítico ou errou na leitura da tabela.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 5,48% é exatamente o p-valor do teste: a área à direita de $z = 1{,}60$ na distribuição normal padrão. Como o teste é unilateral à direita, o nível de significância que torna a evidência suficiente é aquele igual ou superior ao p-valor. Portanto, com $\alpha = 5{,}48\%$, rejeita-se $H_0$ e conclui-se que o motorista é azarado. Este é o valor que a banca calculou a partir dos dados do texto-base.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 8,37% corresponde a um valor crítico $z \approx 1{,}38$ (área à direita = $1 - \Phi(1{,}38) = 1 - 0{,}9162 = 0{,}0838$). Esse nível de significância é maior que o p-valor real (5,48%), o que significa que, com $\alpha = 8{,}37\%$, a evidência amostral seria suficiente para rejeitar $H_0$ — mas a questão pede o nível de significância igual ao p-valor, não um valor maior. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente usou um valor crítico incorreto ou errou na interpolação da tabela.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 12,36% corresponde a um valor crítico $z \approx 1{,}16$ (área à direita = $1 - \Phi(1{,}16) = 1 - 0{,}8770 = 0{,}1230$). Esse nível de significância é maior que o p-valor real (5,48%), o que significa que, com $\alpha = 12{,}36\%$, a evidência amostral seria suficiente para rejeitar $H_0$ — mas a questão pede o nível de significância igual ao p-valor, não um valor maior. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente usou um valor crítico incorreto ou errou na leitura da tabela.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 18,75% corresponde a um valor crítico $z \approx 0{,}89$ (área à direita = $1 - \Phi(0{,}89) = 1 - 0{,}8133 = 0{,}1867$). Esse nível de significância é maior que o p-valor real (5,48%), o que significa que, com $\alpha = 18{,}75\%$, a evidência amostral seria suficiente para rejeitar $H_0$ — mas a questão pede o nível de significância igual ao p-valor, não um valor maior. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente usou um valor crítico incorreto ou errou na leitura da tabela.

Gabarito: letra B