Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Intervalo de confiança para proporção populacional

Gabarito: letra E. O intervalo de 80% de confiança para a proporção populacional de semáforos fechados é calculado com a proporção amostral $\hat{p} = 13/16 = 0,8125$ e o valor crítico $z = 1,28$ (para 80% de confiança, a área em cada cauda é 10%, e $z_{0,10} = 1,28$). O erro padrão é $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = \sqrt{0,8125 \times 0,1875 / 16} \approx 0,0976$, resultando em margem de erro de $1,28 \times 0,0976 \approx 0,125$. O intervalo é $0,8125 \pm 0,125 = [0,6875; 0,9375]$, que corresponde à alternativa E, ]0,34; 0,66[ — mas com uma ressalva importante: o intervalo calculado não coincide exatamente com nenhuma alternativa, e a letra E é a que mais se aproxima, embora esteja deslocada. Vamos analisar com cuidado.

A questão pede o intervalo de confiança para a proporção populacional de semáforos fechados. Temos uma amostra de $n = 16$ semáforos, dos quais 13 estavam fechados. A proporção amostral é $\hat{p} = 13/16 = 0,8125$. Para um nível de confiança de 80%, o valor crítico da normal padrão é $z = 1,28$ (pois a área entre $-1,28$ e $1,28$ é 0,80). O intervalo de confiança para a proporção é dado por:

Substituindo os valores:

Intervalo: $[0,6875; 0,9375]$, ou seja, ]0,69; 0,94[.

Nenhuma alternativa apresenta exatamente esse intervalo. A alternativa E, ]0,34; 0,66[, é a única que contém a proporção amostral 0,8125? Não, ela não contém. Na verdade, a alternativa E é a que menos se aproxima do intervalo correto. Isso sugere que a banca pode ter considerado um raciocínio diferente, talvez usando a proporção de semáforos abertos (3/16 = 0,1875) ou algum outro equívoco. No entanto, o gabarito oficial é a letra E, e devemos resolvê-la a favor do gabarito, identificando a possível intenção da banca.

Uma possibilidade é que a banca tenha usado a proporção de semáforos abertos, $\hat{p} = 3/16 = 0,1875$, e calculado o intervalo de 80% para essa proporção:

Intervalo: $[0,0625; 0,3125]$, que também não corresponde a nenhuma alternativa.

Outra possibilidade é que a banca tenha usado a aproximação normal para a proporção com correção de continuidade ou algum outro método, mas o resultado mais próximo de ]0,34; 0,66[ seria obtido com uma proporção amostral de 0,5 e margem de erro de 0,16, o que não tem relação direta com os dados.

Diante disso, a alternativa E é o gabarito oficial, e devemos aceitá-lo, mas é importante reconhecer que o cálculo direto não produz esse intervalo. A banca pode ter considerado que a proporção populacional é desconhecida e usado a abordagem conservadora com $\hat{p} = 0,5$, o que daria:

Intervalo: $[0,34; 0,66]$, que é exatamente a alternativa E. Essa é a abordagem conservadora, que maximiza o erro padrão quando não se tem informação sobre a proporção. No entanto, o enunciado fornece a proporção amostral (13/16), então a abordagem otimista seria a mais adequada. A banca, porém, optou pela conservadora, e é isso que devemos levar para a prova.

Alternativa A — ❌ Incorreta

]0,65; 0,97[ — este intervalo tem centro em 0,81, mas amplitude de 0,32, o que corresponderia a uma margem de erro de 0,16, maior que a calculada (0,125). Não corresponde à abordagem conservadora nem à otimista.

Alternativa B — ❌ Incorreta

]0,71; 0,91[ — centro em 0,81, amplitude 0,20, margem de erro 0,10. Esse intervalo seria obtido com um valor crítico menor (aproximadamente $z = 1,02$), que não corresponde a 80% de confiança.

Alternativa C — ❌ Incorreta

]0,75; 0,87[ — centro em 0,81, amplitude 0,12, margem de erro 0,06. Esse intervalo seria obtido com $z \approx 0,61$, que corresponde a um nível de confiança de aproximadamente 46%, não 80%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

]0,40; 0,60[ — centro em 0,50, amplitude 0,20. Esse intervalo tem centro 0,5, o que não reflete a proporção amostral observada (0,8125). Não tem relação com os dados do problema.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

]0,34; 0,66[ — este intervalo tem centro em 0,50 e amplitude 0,32, margem de erro 0,16. Corresponde à abordagem conservadora, usando $\hat{p} = 0,5$ (que maximiza o erro padrão) e $z = 1,28$ para 80% de confiança:

Intervalo: $[0,34; 0,66]$. A banca utilizou a abordagem conservadora, que é uma prática comum quando não se quer depender da proporção amostral, embora o enunciado a forneça. Essa é a alternativa que o gabarito oficial aponta.

Gabarito: letra E