Uma máquina é utilizada para encher garrafas PET com certo tipo de refrigerante. Quando regulada a máquina, a quantidade de líquido que ela despeja na garrafa segue uma distribuição normal com média µ = 2 L (hipótese nula) e desvio padrão σ = 50 mL. Certo dia, para realizar um controle de qualidade, foi selecionada uma amostra aleatória simples com reposição de 100 garrafas, e a média amostral alcançou o valor M = 1,93 L.Com relação a essa situação hipotética, assinale a opção correta.
AA distribuição da média amostral terá média µ e desvio padrão σ.
BA evidência amostral é suficiente para assegurar que a máquina está perfeitamente regulada.
CA amostra selecionada demonstra que a média amostral é um estimador viesado.
DSe a máquina estiver perfeitamente regulada, a probabilidade de uma garrafa, selecionada ao acaso na produção, ter menos de 1.950 mL do refrigerante é nula.
EA potência do teste de hipóteses (bilateral) para a média, na situação em tela, coincide com a probabilidade de se rejeitar a hipótese de que a máquina esteja regulada.
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GabaritoE — A potência do teste de hipóteses (bilateral) para a média, na situação em tela, coincide com a probabilidade de se rejeitar a hipótese de que a máquina esteja regulada.
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Teste de hipóteses para a média: potência do teste
Gabarito: letra E. A potência de um teste de hipóteses é, por definição, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa — ou seja, a probabilidade de se rejeitar a hipótese de que a máquina esteja regulada (H₀: μ = 2 L) quando, na verdade, ela não está regulada. Essa é exatamente a afirmação da alternativa E, que se apoia no conceito de potência do teste (1 − β, onde β é a probabilidade do erro tipo II).
A questão envolve um teste de hipóteses para a média populacional com variância conhecida (σ = 50 mL), situação em que a estatística do teste segue distribuição normal padrão sob H₀. A potência do teste é a probabilidade de rejeitar H₀ quando H₀ é falsa, ou seja, quando a média real μ é diferente de 2 L. No caso de um teste bilateral, a potência depende do valor real de μ, do tamanho da amostra (n = 100), do desvio padrão (σ = 50 mL) e do nível de significância adotado. A alternativa E captura corretamente essa definição, sem exigir cálculos adicionais.
Vamos analisar cada alternativa:
Caso
Definição
Resultado
Erro tipo I (α)
Rejeitar H₀ quando H₀ é verdadeira
Probabilidade de falso positivo
Erro tipo II (β)
Não rejeitar H₀ quando H₀ é falsa
Probabilidade de falso negativo
Potência (1 − β)
Rejeitar H₀ quando H₀ é falsa
Probabilidade de detectar efeito real
Alternativa E
Potência do teste bilateral
Coincide com a probabilidade de rejeitar H₀ quando H₀ é falsa
H₀ verdadeira
H₀ falsa
Não rejeita H₀
Erro tipo I (α)
Potência (1 − β)
Rejeita H₀
Decisão correta
Erro tipo II (β)
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que a distribuição da média amostral terá média μ e desvio padrão σ. O erro está no desvio padrão: a média amostral tem desvio padrão σ/√n (erro padrão), não σ. Para n = 100, o erro padrão seria 50 mL / √100 = 5 mL. A média amostral é um estimador não viesado de μ, mas sua variabilidade é reduzida pelo tamanho da amostra.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que a evidência amostral é suficiente para assegurar que a máquina está perfeitamente regulada. Isso é falso: a média amostral de 1,93 L é bem inferior a 2 L (a diferença é de 70 mL, ou seja, 14 erros padrão), o que sugere fortemente que a máquina não está regulada. Mas, estatisticamente, nunca se pode "assegurar" com certeza absoluta; testes de hipóteses fornecem evidências probabilísticas, não certezas. Além disso, a amostra indica justamente o contrário: há forte evidência contra a regulação.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que a amostra demonstra que a média amostral é um estimador viesado. Isso é incorreto: a média amostral é um estimador não viesado da média populacional, independentemente da amostra observada. O viés é uma propriedade do estimador, não de uma amostra específica. A média amostral é não viesada porque E(X̄) = μ, para qualquer amostra aleatória.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que, se a máquina estiver perfeitamente regulada (μ = 2 L), a probabilidade de uma garrafa ter menos de 1.950 mL é nula. Isso é falso: como a quantidade segue distribuição normal com média 2 L e desvio padrão 50 mL, a probabilidade de uma observação individual ser menor que 1.950 mL é positiva. Calculando: z = (1,95 − 2,00) / 0,05 = −1,0. P(Z < −1,0) ≈ 0,1587, ou seja, cerca de 15,87%. A probabilidade não é nula.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A potência do teste de hipóteses (bilateral) para a média é, por definição, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. No contexto, a hipótese nula é que a máquina está regulada (μ = 2 L). Portanto, a potência coincide com a probabilidade de se rejeitar a hipótese de que a máquina esteja regulada, dado que ela não está. Essa é a definição clássica de potência (1 − β), e a alternativa a descreve corretamente.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a distribuição da média amostral e a distribuição da população. Na alternativa A, o candidato pode esquecer que o desvio padrão da média amostral é σ/√n, não σ. Na alternativa D, a pegadinha é pensar que, por ser um valor "distante" da média, a probabilidade seria zero — mas, em uma distribuição normal contínua, qualquer valor tem probabilidade positiva (a cauda nunca é exatamente zero). Fique atento a essas trocas clássicas!
PEGA ESSA DICA!
Para questões de teste de hipóteses, memorize as definições: erro tipo I (α) = rejeitar H₀ quando H₀ é verdadeira; erro tipo II (β) = não rejeitar H₀ quando H₀ é falsa; potência = 1 − β = probabilidade de rejeitar H₀ quando H₀ é falsa. A potência é a capacidade do teste de detectar um efeito real. Quando a alternativa falar em "probabilidade de rejeitar a hipótese nula", verifique se ela menciona a condição "quando H₀ é falsa" — se sim, é potência.