Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce196436

Estimativa de máxima verossimilhança do desvio padrão na distribuição exponencial

Gabarito: letra C. Na distribuição exponencial, o desvio padrão populacional é igual à média pois $ σ = 1/λ = mu$, e a estimativa de máxima verossimilhança da média é a média amostral $\bar{x}$ . Para a amostra 2, 3, 1, 5, 1, 6, temos $\bar{x} = 18/6 = 3$ , logo a estimativa do desvio padrão é 3.

A distribuição exponencial é um modelo contínuo com função densidade $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ , para $x > 0$ , em que $\lambda > 0$ é o parâmetro de taxa. Suas principais características são:

Média: $E(X) = 1/\lambda$
Variância: $Var(X) = 1/\lambda^2$
Desvio padrão: $\sqrt{Var(X)} = 1/\lambda$

Portanto, na exponencial, média e desvio padrão são numericamente iguais. Essa propriedade é exclusiva dessa distribuição e é o ponto central da questão.

O método da máxima verossimilhança (MV) consiste em escolher o valor do parâmetro que maximiza a probabilidade (ou densidade) de se observar a amostra coletada. Para a exponencial, a função de verossimilhança é:

L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum x_i}

Maximizando o logaritmo dessa função em relação a $\lambda$ , obtém-se o estimador de MV:

\hat{\lambda}_{MV} = \frac{1}{\bar{x}}

Ou seja, a estimativa de MV do parâmetro $\lambda$ é o inverso da média amostral. Como o desvio padrão é $1/\lambda$ , sua estimativa de MV é simplesmente a média amostral $\bar{x}$ .

Cálculo para a amostra dada:

Soma dos valores: $2 + 3 + 1 + 5 + 1 + 6 = 18$
Tamanho da amostra: $n = 6$
Média amostral: $\bar{x} = 18/6 = 3$

Portanto, a estimativa de MV do desvio padrão populacional é $\hat{\sigma} = \bar{x} = 3$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o parâmetro $\lambda$ e o desvio padrão. Muitos candidatos calculam $\hat{\lambda} = 1/\bar{x} = 1/3$ e marcam a alternativa que contém esse valor — mas ela não está entre as opções. Outros podem calcular o desvio padrão amostral usual (com $n-1$ no denominador), que seria $\sqrt{[(2-3)^2 + (3-3)^2 + (1-3)^2 + (5-3)^2 + (1-3)^2 + (6-3)^2]/5} = \sqrt{20/5} = 2$ , caindo na letra B. A chave é lembrar que, na exponencial, o desvio padrão é igual à média, e a estimativa de MV da média é a média amostral.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 não corresponde a nenhuma estimativa relevante. Não é a média amostral (3), nem o inverso da média (1/3), nem o desvio padrão amostral (2). É um distrator sem fundamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2,5 não é a média amostral (3) nem o desvio padrão amostral (2). Pode ter sido obtido por um cálculo equivocado, como a média dos desvios absolutos ou uma divisão incorreta da soma (18/7 ≈ 2,57). Não há base teórica para esse valor.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, na distribuição exponencial o desvio padrão populacional é igual à média. A estimativa de máxima verossimilhança da média é a média amostral, que para os dados fornecidos é $\bar{x} = 18/6 = 3$ . Portanto, a estimativa do desvio padrão é 3.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 5 é um dos elementos da amostra, mas não representa nenhuma estimativa do parâmetro. Pode ter sido escolhido por ser o maior valor observado, mas isso não tem relação com a estimativa de MV.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 18 é a soma de todos os elementos da amostra, não a média. A soma é usada no cálculo, mas a estimativa do desvio padrão é a média (soma dividida por $n$ ), que é 3.

Gabarito: letra C