Ao estimar certo parâmetro populacional β da distribuição de uma variável aleatória X a partir de um estimador T baseado em uma amostra aleatória simples com reposição, um estatístico determinou que a variância e o viés de T são, respectivamente, iguais 25 e 9.Considerando a situação hipotética precedente, assinale a opção que corresponde ao erro quadrático médio do estimador T.
A14
B16
C34
D106
E225
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GabaritoD — 106
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Erro quadrático médio (EQM) de um estimador
Gabarito: letra D. O erro quadrático médio (EQM) de um estimador é a soma da variância com o quadrado do viés: EQM(T) = Var(T) + [viés(T)]². Com variância 25 e viés 9, temos EQM = 25 + 9² = 25 + 81 = 106. Essa é a definição clássica de EQM, que mede a qualidade de um estimador combinando sua precisão (variância) e sua exatidão (viés).
O erro quadrático médio é uma medida fundamental em inferência estatística para comparar estimadores. Ele decompõe o erro total de estimação em duas componentes: a variância, que reflete a dispersão do estimador em torno de sua própria média, e o quadrado do viés, que reflete o afastamento sistemático da média do estimador em relação ao verdadeiro valor do parâmetro. Um estimador com EQM menor é, em geral, preferível, pois equilibra precisão e exatidão.
A fórmula EQM(T) = Var(T) + [viés(T)]² é derivada da definição EQM(T) = E[(T - β)²], onde β é o parâmetro populacional. Expandindo o quadrado e usando propriedades de esperança, chega-se à decomposição em variância e viés ao quadrado. Essa relação é essencial para entender por que um estimador pode ser viesado, mas ainda assim ter um EQM menor que um estimador não viesado, se sua variância for suficientemente menor.
A pegadinha desta questão é justamente esquecer de elevar o viés ao quadrado. O candidato apressado pode somar 25 + 9 = 34 (alternativa C) ou subtrair 25 - 9 = 16 (alternativa B), ou ainda multiplicar 25 × 9 = 225 (alternativa E). A banca explora o erro conceitual de tratar o viés como se já estivesse na unidade correta, sem lembrar que o EQM trabalha com o quadrado do viés.
Componente
Valor
Fórmula
Resultado
Variância (Var(T))
25
—
25
Viés (viés(T))
9
—
9
Quadrado do viés
—
9²
81
Erro quadrático médio (EQM)
—
Var(T) + [viés(T)]²
25 + 81 = 106
Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor 14 não corresponde a nenhuma operação direta entre 25 e 9. Não há fórmula que resulte em 14 a partir dos dados fornecidos. É um distrator puro, sem relação com o cálculo do EQM.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O valor 16 resulta de 25 - 9, ou seja, subtrair o viés da variância. Essa operação não tem fundamento teórico: o EQM é uma soma de componentes positivos (variância e quadrado do viés), nunca uma diferença. O candidato que escolhe esta opção confunde EQM com uma medida de "variância ajustada", que não existe.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O valor 34 resulta de 25 + 9, ou seja, somar a variância e o viés sem elevar o viés ao quadrado. Esse é o erro mais comum: esquecer que o viés entra ao quadrado na fórmula. A alternativa C é a pegadinha clássica da questão, pois parece intuitivo somar as duas grandezas diretamente.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Aplicando a fórmula EQM(T) = Var(T) + [viés(T)]², com Var(T) = 25 e viés(T) = 9, temos EQM = 25 + 9² = 25 + 81 = 106. O quadrado do viés é 81, e a soma com a variância resulta em 106. Esta é a única alternativa que aplica corretamente a definição de erro quadrático médio.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O valor 225 resulta de 25 × 9, ou seja, multiplicar a variância pelo viés. Essa operação não corresponde a nenhuma fórmula de EQM. O candidato que escolhe esta opção confunde EQM com o produto das duas medidas, talvez pensando em alguma relação com a covariância, que não se aplica aqui.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora exatamente o esquecimento do quadrado do viés. As alternativas C (25+9=34) e E (25×9=225) são armadilhas para quem não domina a fórmula EQM = Var + viés². Na hora da prova, sempre escreva a fórmula antes de substituir os valores — isso evita cair nesse tipo de erro. Com treino, você reconhece essas armadilhas de longe 💪.
PEGA ESSA DICA!
Para questões de EQM, memorize a decomposição: EQM = Variância + Viés². Se o enunciado der variância e viés, eleve o viés ao quadrado antes de somar. Se der o EQM e pedir uma das componentes, isole a incógnita. Essa fórmula é recorrente em concursos e cai tanto em questões teóricas quanto em cálculos diretos como esta.