Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Estimação da mediana em população normal

Gabarito: letra E. Em uma população com distribuição normal, a média e a mediana coincidem (ambas são iguais a μ), e a média amostral é o estimador mais eficiente para esse parâmetro, pois possui variância menor que a mediana amostral. A alternativa E está correta ao afirmar que a média amostral será mais eficiente que a mediana amostral.

A questão explora a comparação entre dois estimadores do parâmetro de centralidade (que, na normal, é simultaneamente média e mediana): a média amostral ($\bar{X}$) e a mediana amostral ($md$). A eficiência de um estimador é medida pela sua variância: quanto menor a variância, maior a eficiência. Para uma amostra aleatória simples de tamanho $n$ de uma população normal com variância $\sigma^2$, temos:

• Variância da média amostral: $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$

• Variância da mediana amostral (aproximada, para $n$ grande): $\text{Var}(md) \approx \dfrac{\pi \sigma^2}{2n} \approx 1,57 \cdot \dfrac{\sigma^2}{n}$

Ou seja, a mediana amostral tem variância cerca de 57% maior que a média amostral. Portanto, a média amostral é mais eficiente (menor variância) e, consequentemente, mais precisa. Além disso, ambos os estimadores são não viesados para a mediana populacional na distribuição normal (a média amostral é não viesada para μ; a mediana amostral também é não viesada para a mediana populacional, que coincide com μ). Assim, as alternativas que falam em viés maior estão incorretas.

A pegadinha da banca está em inverter os conceitos de viés e eficiência, e em sugerir que a mediana amostral seria melhor por ser uma medida robusta — mas, na distribuição normal, a média é o estimador ótimo sob o critério de mínima variância.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a mediana amostral será o melhor estimador "qualquer que seja o critério escolhido". Isso é falso: sob o critério de eficiência (mínima variância), a média amostral é superior. A mediana amostral só seria preferível em distribuições com caudas pesadas ou com outliers, onde a robustez é mais importante — não é o caso da normal.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a média amostral terá viés maior que a mediana amostral. Na distribuição normal, ambos os estimadores são não viesados para μ (a mediana populacional coincide com a média). Portanto, não há diferença de viés — ambos têm viés zero. O erro está em atribuir viés à média amostral, que é um estimador não viesado por definição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a mediana amostral terá viés maior que a média amostral. Pelo mesmo motivo da alternativa B, ambos são não viesados na normal. A mediana amostral também é não viesada para a mediana populacional (que é μ). Logo, a afirmação é incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a mediana amostral será mais precisa que a média amostral. Precisão está relacionada à variância do estimador: quanto menor a variância, maior a precisão. Como $\text{Var}(md) > \text{Var}(\bar{X})$, a média amostral é mais precisa. A mediana amostral é menos precisa (maior variabilidade amostral).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a média amostral será mais eficiente que a mediana amostral. Correto: eficiência é o inverso da variância. Como $\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$ e $\text{Var}(md) \approx 1,57 \cdot \sigma^2/n$, a média amostral tem menor variância e, portanto, é mais eficiente. Esse é um resultado clássico da teoria da estimação: na distribuição normal, a média amostral é o estimador de mínima variância não viesado (EMV) para μ.

Gabarito: letra E