Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida

Gabarito: letra C. O intervalo de 95% de confiança para a média é dado por $\bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$, em que $\bar{x}=53$, $s=25$, $n=100$ e $z=1,96$. O erro padrão é $\frac{25}{\sqrt{100}} = 2,5$, e a margem de erro é $1,96 \times 2,5 = 4,9$. Logo, o intervalo é $53 \pm 4,9$, ou seja, $48,1 < \mu < 57,9$.

A questão cobra a construção de um intervalo de confiança para a média populacional quando a variância populacional é desconhecida, mas o tamanho da amostra é grande ($n=100 \geq 30$). Nesse caso, pelo Teorema Central do Limite, a distribuição da média amostral é aproximadamente normal, e podemos usar a distribuição normal padrão (Z) mesmo sem conhecer a variância populacional, substituindo o desvio padrão populacional pelo desvio padrão amostral $s$.

A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é:

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral;

• $z$ é o valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado (para 95%, $z=1,96$);

• $s$ é o desvio padrão amostral;

• $n$ é o tamanho da amostra.

Substituindo os valores do enunciado:

Portanto, o intervalo é $[53 - 4,9; \, 53 + 4,9] = [48,1; \, 57,9]$, que corresponde à alternativa C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo $50,5 < \mu < 55,5$ tem margem de erro $2,5$, que corresponde a $z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 1 \cdot 2,5$. Isso seria o intervalo com $z=1$ (aproximadamente 68% de confiança), não com $z=1,96$. A banca troca o valor crítico, usando $z=1$ em vez de $1,96$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $48,875 < \mu < 57,125$ tem margem de erro $4,125$. Isso corresponde a $z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 1,65 \cdot 2,5 = 4,125$, ou seja, usa $z=1,65$ (aproximadamente 90% de confiança) em vez de $1,96$. A banca troca o valor crítico para um nível de confiança menor.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo $48,1 < \mu < 57,9$ é exatamente $53 \pm 4,9$, com margem de erro $1,96 \times 2,5 = 4,9$. Usa corretamente $z=1,96$ para 95% de confiança, com erro padrão $\frac{25}{\sqrt{100}} = 2,5$. É a única alternativa que aplica a fórmula correta com os valores fornecidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $47,375 < \mu < 58,625$ tem margem de erro $5,625$. Isso corresponde a $z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2,25 \cdot 2,5 = 5,625$, ou seja, usa $z=2,25$ (aproximadamente 97,5% de confiança) em vez de $1,96$. A banca troca o valor crítico para um nível de confiança maior.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $46,55 < \mu < 59,45$ tem margem de erro $6,45$. Isso corresponde a $z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2,58 \cdot 2,5 = 6,45$, ou seja, usa $z=2,58$ (aproximadamente 99% de confiança) em vez de $1,96$. A banca troca o valor crítico para um nível de confiança ainda maior.

Gabarito: letra C