GabaritoA — 4.
Gabarito: letra A (4). Como X e Y são independentes, a covariância entre elas é nula, e a variância da diferença é a soma das variâncias: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) = 2 + 2 = 4. Como E[X] = E[Y] = 1, a média da diferença é zero, e portanto E[(X − Y)²] = Var(X − Y) = 4.
A questão cobra a relação entre o segundo momento de uma variável e sua variância, aplicada à diferença de duas variáveis independentes. Vamos destrinchar o raciocínio passo a passo, porque é exatamente aqui que muitos candidatos tropeçam: eles esquecem que, para variáveis independentes, a covariância é zero, e acabam somando as variâncias de forma incorreta ou subtraindo quando deveriam somar.
O que é E[(X − Y)²]? É o valor esperado do quadrado da diferença entre X e Y. Pela definição de variância, para qualquer variável aleatória Z, temos Var(Z) = E[Z²] − (E[Z])². Aplicando isso a Z = X − Y, obtemos:
E[(X − Y)²] = Var(X − Y) + (E[X − Y])².
Primeiro passo: calcular E[X − Y]. Pela linearidade da esperança, E[X − Y] = E[X] − E[Y] = 1 − 1 = 0. Portanto, o termo (E[X − Y])² é zero, e a expressão se reduz a E[(X − Y)²] = Var(X − Y).
Segundo passo: calcular Var(X − Y). A variância da diferença de duas variáveis é dada por:
Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2·Cov(X, Y).
Como X e Y são independentes, a covariância é zero (Cov(X, Y) = 0). Isso é uma propriedade fundamental: independência implica covariância nula. Portanto:
Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) = 2 + 2 = 4.
Conclusão: E[(X − Y)²] = 4.
A pegadinha clássica aqui é o sinal: muitos alunos, ao verem a diferença X − Y, subtraem as variâncias (2 − 2 = 0), o que levaria à alternativa E. Mas a variância da diferença é a soma das variâncias quando as variáveis são independentes — o sinal negativo da diferença não afeta a variância, pois a variância é sempre não negativa e o termo de covariância é que carregaria o sinal, mas ele é zero.
A banca explora a confusão entre somar e subtrair variâncias. Para variáveis independentes, Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y), nunca Var(X) − Var(Y). Se você subtraísse, chegaria a 0 (alternativa E), que é o distrator mais tentador. Lembre-se: a variância de uma diferença de independentes é a soma das variâncias, porque a covariância é zero. 💪
Como demonstrado, E[(X − Y)²] = Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) = 2 + 2 = 4. A independência garante Cov(X, Y) = 0, e a média da diferença é zero, então o segundo momento coincide com a variância.
O valor 3 não corresponde a nenhuma combinação simples dos dados. Se o aluno errasse o cálculo da variância da diferença (por exemplo, fazendo 2 + 2 − 1 = 3), chegaria a esse número, mas não há justificativa teórica. A resposta correta é 4.
O valor 2 é a variância individual de X ou de Y, mas a questão pede a variância da diferença, que é a soma das duas (4). Confundir a variância de uma variável com a da diferença é um erro comum.
O valor 1 é a média de X e Y, não tem relação com a variância da diferença. A média da diferença é zero, e a variância é 4.
O valor 0 seria obtido se alguém subtraísse as variâncias (2 − 2 = 0), ignorando que a variância da diferença de independentes é a soma. Esse é o distrator mais perigoso, pois parece intuitivo para quem não domina a propriedade.
Para resolver questões de E[(X − Y)²] ou Var(X − Y), siga sempre o roteiro: (1) calcule E[X − Y] pela linearidade; (2) use Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2·Cov(X, Y); (3) se as variáveis são independentes, Cov = 0 e a variância da diferença é a soma das variâncias. Esse padrão cai muito em provas de estatística básica.
Gabarito: letra A
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