Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2025

Distribuição t de Student e convergência para a normal

Gabarito: letra C. À medida que o número de graus de liberdade $n$ cresce, a distribuição t de Student converge para a distribuição normal padrão. Como $A_n$ converge em probabilidade para 1, a soma $T_n + A_n$ converge para uma normal com média 1 e desvio padrão 1 (pois a soma de uma variável que converge para $N(0,1)$ com uma constante que converge para 1 resulta em $N(1,1)$).

A distribuição t de Student é um dos pilares da inferência estatística, utilizada principalmente para testes de hipóteses e intervalos de confiança quando a variância populacional é desconhecida e o tamanho da amostra é pequeno. Sua forma é simétrica e similar à normal padrão, porém com caudas mais pesadas, o que reflete a incerteza adicional introduzida pela estimação da variância. A densidade da t de Student é definida por um parâmetro chamado graus de liberdade ($n$), que controla o formato da curva: quanto menor o $n$, mais dispersa e com caudas mais grossas é a distribuição; quanto maior o $n$, mais ela se aproxima da distribuição normal padrão.

O resultado central que resolve esta questão é o comportamento limite da distribuição t de Student. Quando $n$ tende ao infinito, a distribuição t converge para a distribuição normal padrão $N(0,1)$. Isso ocorre porque, com muitos graus de liberdade, a estimativa da variância amostral se torna muito precisa, eliminando a incerteza que torna as caudas mais pesadas. Formalmente, se $T_n \sim t(n)$, então $T_n \xrightarrow{d} N(0,1)$ quando $n \to \infty$.

A segunda parte do enunciado envolve a convergência em probabilidade de $A_n$ para 1. Pela lei fraca dos grandes números, a média amostral de uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas converge em probabilidade para a esperança comum. Aqui, $A_n$ é uma sequência de variáveis aleatórias que converge para a constante 1. Pelo Teorema de Slutsky, se $T_n \xrightarrow{d} T$ e $A_n \xrightarrow{p} a$ (constante), então $T_n + A_n \xrightarrow{d} T + a$. Aplicando este teorema, temos que $T_n + A_n \xrightarrow{d} N(0,1) + 1 = N(1,1)$, ou seja, uma distribuição normal com média 1 e desvio padrão 1.

A pegadinha desta questão está em não reconhecer que a soma de uma variável que converge em distribuição para uma normal com uma constante que converge em probabilidade para 1 resulta em uma normal com a média deslocada. Muitos candidatos podem ser tentados a pensar que a soma permanece com média zero, ignorando o efeito da constante $A_n$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade é a distribuição do quadrado de uma variável normal padrão ($Z^2$). Não há relação entre a soma $T_n + A_n$ e o quadrado de uma normal. A soma de uma t de Student com uma constante não gera uma qui-quadrado. O erro aqui é confundir a convergência da t para a normal com a definição de qui-quadrado, que é uma distribuição assimétrica com suporte em $[0, \infty)$, enquanto a soma em questão pode assumir valores negativos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distribuição F de Snedecor é definida como a razão de duas variáveis qui-quadrado independentes, cada uma dividida pelos seus respectivos graus de liberdade. Não há nenhuma razão de qui-quadrados na soma $T_n + A_n$. A F de Snedecor é uma distribuição assimétrica com suporte em $[0, \infty)$, usada principalmente na análise de variância (ANOVA) e em testes de comparação de variâncias. A alternativa tenta confundir o candidato ao mencionar graus de liberdade específicos (2 e 1) que não têm relação com o problema.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa correta. Como explicado, $T_n$ converge em distribuição para $N(0,1)$ quando $n \to \infty$, e $A_n$ converge em probabilidade para 1. Pelo Teorema de Slutsky, a soma converge em distribuição para $N(1,1)$, ou seja, uma distribuição normal com média 1 e desvio padrão 1. A média da soma é a soma das médias (0 + 1 = 1) e a variância da soma é a soma das variâncias (1 + 0 = 1), pois $A_n$ converge para uma constante, que tem variância zero no limite.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição t de Student com 1 grau de liberdade é a distribuição de Cauchy, que tem caudas extremamente pesadas e não possui média nem variância definidas. A soma $T_n + A_n$ não converge para uma t de Student com 1 grau de liberdade; pelo contrário, converge para uma normal. A alternativa confunde o comportamento limite da t (que é normal) com a própria distribuição t com poucos graus de liberdade.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distribuição exponencial com média 1 é uma distribuição assimétrica com suporte em $[0, \infty)$, com função de densidade $f(x) = e^{-x}$ para $x \geq 0$. A soma $T_n + A_n$ pode assumir valores negativos (pois a t de Student tem suporte em toda a reta real), o que já descarta a exponencial. Além disso, a convergência da t é para a normal, não para a exponencial. A alternativa tenta confundir o candidato ao mencionar uma média igual a 1, que é o valor da média da distribuição limite, mas a forma da distribuição é completamente diferente.

Gabarito: letra C