Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce196446

Valor esperado de –ln P com P uniforme em (0,1)

Gabarito: letra C (1,0). Se P é uniforme em (0,1), então –ln P segue uma distribuição exponencial com parâmetro 1, cuja média é exatamente 1. Isso decorre do cálculo direto da integral $E[-\ln P] = \int_0^1 (-\ln p)\,dp = 1$ .

A questão explora a relação entre a distribuição uniforme e a exponencial. Quando aplicamos a transformação $Y = -\ln P$ a uma uniforme em (0,1), obtemos uma exponencial com parâmetro 1. Essa é uma propriedade clássica usada em simulação (método da transformação inversa) e em teoria de confiabilidade. Vamos demonstrar o cálculo passo a passo.

Se $P \sim U(0,1)$ , sua função densidade de probabilidade é $f(p) = 1$ para $0 < p < 1$ . O valor esperado de uma função $g(P)$ é dado por:

E[g(P)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(p) f(p)\,dp = \int_0^1 g(p)\,dp

Aqui, $g(p) = -\ln p$ . Portanto:

E[-\ln P] = \int_0^1 (-\ln p)\,dp

Resolvendo a integral (integração por partes, com $u = \ln p$ e $dv = dp$ ):

\int_0^1 \ln p\,dp = [p\ln p - p]_0^1 = (1\cdot 0 - 1) - \lim_{p\to 0^+}(p\ln p - p) = -1 - 0 = -1

Logo, $E[-\ln P] = -(-1) = 1$ .

Outra forma de enxergar: a função de distribuição de $Y = -\ln P$ é $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(-\ln P \le y) = P(P \ge e^{-y}) = 1 - e^{-y}$ para $y > 0$ , que é exatamente a acumulada de uma exponencial com parâmetro 1. A média de uma exponencial com parâmetro $\lambda$ é $1/\lambda$ ; com $\lambda = 1$ , a média é 1.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,5 é a média de uma uniforme em (0,1), não de –ln P. O candidato que confunde a média da uniforme (ponto médio do intervalo) com a média da transformação logarítmica cai nessa alternativa. A média de $P$ é $E[P] = (0+1)/2 = 0,5$ , mas a questão pede $E[-\ln P]$ , que é outra coisa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,75 não corresponde a nenhum valor esperado relevante aqui. Não é a média da uniforme (0,5), nem a média da exponencial (1), nem a variância da uniforme (1/12 ≈ 0,083). É um distrator numérico sem vínculo direto com o problema.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $E[-\ln P] = 1$ . A integral $\int_0^1 (-\ln p)\,dp$ converge para 1, e a distribuição de $Y = -\ln P$ é exponencial com parâmetro 1, cuja média é 1. É o resultado clássico da transformação logarítmica da uniforme.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1,5 não é o valor esperado. Poderia ser a média de uma exponencial com parâmetro $2/3$ , mas aqui o parâmetro é 1. Não há base para esse valor no problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1,75 também não corresponde a nenhum cálculo do enunciado. É um distrator puro, sem relação com a média da uniforme, da exponencial ou com a integral.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a média da distribuição uniforme (0,5) e a média da transformação $–\ln P$ (1). O candidato apressado pode calcular $E[P] = 0,5$ e marcar a letra A, sem perceber que a questão pede o valor esperado de uma função de P, não de P em si. Lembre-se: $E[g(X)] \neq g(E[X])$ em geral — aqui, $E[-\ln P] = 1$ , enquanto $-\ln(E[P]) = -\ln(0,5) \approx 0,693$ .

PEGA ESSA DICA!

Sempre que aparecer $–\ln U$ com $U$ uniforme em (0,1), lembre-se da exponencial com parâmetro 1: a média é 1. Esse é um resultado recorrente em simulação e em questões de transformação de variáveis. Se a questão pedir $E[-\ln P]$ , a resposta é 1; se pedir $E[P]$ , é 0,5. Grave essa distinção.

Gabarito: letra C