GabaritoE — P(X > 4) + P(Y < 4) = 1.
Gabarito: letra E. Como X ~ N(3, 1) e Y ~ N(2, 4), as probabilidades P(X > 4) e P(Y < 4) são complementares (somam 1), pois ambas correspondem à cauda além de 1 desvio-padrão da média — uma à direita, outra à esquerda. A simetria da distribuição normal garante que essas áreas são iguais, e a propriedade de complementaridade da função de distribuição acumulada (F(x) + P(X > x) = 1) fecha a soma em 1.
A distribuição normal é simétrica em torno da média, e a probabilidade total sob a curva é 1. Para qualquer variável aleatória contínua, a probabilidade de um evento e a de seu complemento somam 1: P(X > a) = 1 − P(X ≤ a). Quando a distribuição é simétrica, a probabilidade de estar a uma distância k desvios-padrão acima da média é igual à probabilidade de estar a k desvios-padrão abaixo da média.
Aqui, X tem média 3 e desvio-padrão 1, então o valor 4 está 1 desvio-padrão acima da média. Y tem média 2 e desvio-padrão 2 (pois a variância é 4), então o valor 4 está 1 desvio-padrão acima da média de Y. Portanto, P(X > 4) = P(Z > 1) e P(Y < 4) = P(Z < 1), onde Z é a normal padrão. Pela simetria, P(Z > 1) = P(Z < −1). E como P(Z < −1) + P(Z < 1) = 1 (eventos complementares), temos P(X > 4) + P(Y < 4) = 1.
A pegadinha da banca está em tentar fazer o candidato calcular os valores numéricos (aproximadamente 0,1587 cada) e esquecer que a soma é exatamente 1, independentemente do valor específico, desde que os pontos estejam à mesma distância (em desvios-padrão) das respectivas médias.
Afirma que a soma é maior que 1. Isso contraria a propriedade de complementaridade: como P(X > 4) e P(Y < 4) são probabilidades de eventos complementares (em relação à normal padrão), a soma é exatamente 1, nunca maior. O erro está em supor que as duas probabilidades somam mais que o total possível.
Afirma que a diferença é 0. De fato, P(X > 4) = P(Y < 4), pois ambos valem P(Z > 1) = P(Z < −1) ≈ 0,1587. Portanto, a diferença é 0, mas a alternativa B está incorreta porque o enunciado pede a soma, não a diferença. A banca troca a operação: a soma é 1, a diferença é 0.
Afirma que a soma é menor que 1. Isso viola a complementaridade: a soma das probabilidades de eventos complementares é exatamente 1. Não há como ser menor, pois P(X > 4) + P(Y < 4) = P(Z > 1) + P(Z < 1) = 1.
Afirma que a diferença é 0,5. Como P(X > 4) = P(Y < 4), a diferença é 0, não 0,5. O valor 0,5 não corresponde a nenhuma relação entre essas probabilidades; é um distrator numérico sem fundamento.
A soma é exatamente 1. Demonstração: P(X > 4) = P(Z > 1) e P(Y < 4) = P(Z < 1), onde Z ~ N(0,1). Como P(Z > 1) = P(Z < −1) (simetria) e P(Z < −1) + P(Z < 1) = 1 (complementaridade), temos P(X > 4) + P(Y < 4) = 1.
Para questões com distribuição normal, padronize sempre: calcule o z-score (z = (x − μ)/σ) e verifique se os pontos estão à mesma distância (em desvios-padrão) das médias. Se estiverem, use a simetria e a complementaridade para somar as probabilidades sem precisar da tabela. Lembre-se: P(Z > z) + P(Z < −z) = 1, e P(Z > z) = P(Z < −z).
Gabarito: letra E
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