Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce196450

Valor esperado de Y via esperança condicional

Gabarito: letra D (4). Pela lei da esperança total (ou teorema da esperança iterada), $E[Y] = E[E[Y|X]]$ . Como $E[Y|X=x] = 2x^2$ , temos $E[Y] = E[2X^2] = 2E[X^2]$ . Para uma normal com média $\mu = 1$ e desvio padrão $\sigma = 1$ , $E[X^2] = Var(X) + [E(X)]^2 = 1 + 1 = 2$ . Portanto, $E[Y] = 2 \times 2 = 4$ .

A questão explora dois conceitos centrais de probabilidade: a esperança condicional e a relação entre variância e segundo momento. A esperança condicional $E[Y|X]$ é uma função de $X$ que, quando calculada a esperança sobre $X$ , nos dá a esperança incondicional de $Y$ . Isso é a lei da esperança total: $E[Y] = E[E[Y|X]]$ . A banca fornece diretamente a função $E[Y|X=x] = 2x^2$ , então basta aplicar a lei.

O segundo passo exige lembrar que $E[X^2] = Var(X) + [E(X)]^2$ . Para a distribuição normal com média 1 e desvio padrão 1, temos $Var(X) = 1$ e $E(X) = 1$ , logo $E[X^2] = 1 + 1 = 2$ . Substituindo: $E[Y] = 2 \times 2 = 4$ .

A pegadinha da banca está em confundir $E[X^2]$ com $[E(X)]^2$ — o candidato apressado calcula $E[Y] = 2 \times 1^2 = 2$ (letra B), esquecendo que o quadrado da média não é a média do quadrado. A diferença entre esses dois valores é exatamente a variância.

Etapa	Expressão	Valor
Dado	E[Y\|X=x] = 2x²	—
Lei da esperança total	E[Y] = E[E[Y\|X]]	E[Y] = E[2X²]
Propriedade de linearidade	E[2X²] = 2·E[X²]	2·E[X²]
Fórmula do segundo momento	E[X²] = Var(X) + [E(X)]²	Var(X) + [E(X)]²
Valores da normal (μ=1, σ=1)	Var(X) = 1, E(X) = 1	1 + 1 = 2
Substituição final	E[Y] = 2 × 2	4

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria obtido se o candidato calculasse $E[Y] = E[2X^2]$ e, erroneamente, tratasse $E[X^2]$ como se fosse $E(X) = 1$ , obtendo $2 \times 1 = 2$ — não 1. Para chegar a 1, seria necessário um erro adicional, como considerar $E[X^2] = 0,5$ , o que não tem fundamento. Não há nenhuma operação legítima que resulte em 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Este é o distrator mais perigoso. O candidato que confunde $E[X^2]$ com $[E(X)]^2$ faz: $E[Y] = 2 \times 1^2 = 2$ . O erro está em ignorar a variância: $E[X^2] = Var(X) + [E(X)]^2 = 1 + 1 = 2$ , e não 1. A banca explora exatamente essa confusão clássica entre o segundo momento e o quadrado da média.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 3 não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Poderia surgir de um cálculo equivocado como $E[Y] = 2 \times (1 + 0,5) = 3$ , mas não há base para isso. É um distrator numérico sem correspondência com a teoria.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a lei da esperança total: $E[Y] = E[E[Y|X]] = E[2X^2] = 2E[X^2]$ . Para a normal com $\mu = 1$ e $\sigma = 1$ , $E[X^2] = Var(X) + \mu^2 = 1 + 1 = 2$ . Logo, $E[Y] = 2 \times 2 = 4$ . A alternativa espelha exatamente o resultado do cálculo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 5 não tem relação com os dados. Poderia surgir de um erro como $E[Y] = 2 \times (1 + 1,5) = 5$ , mas não há justificativa. É um distrator puramente numérico.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca $E[X^2]$ por $[E(X)]^2$ . O candidato que faz isso calcula $E[Y] = 2 \times 1^2 = 2$ e marca a letra B. Lembre-se: $E[X^2] = Var(X) + [E(X)]^2$ — a variância é exatamente a diferença entre esses dois valores. Com treino, você enxerga essa troca de longe 💪.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão der uma esperança condicional $E[Y|X]$ , aplique a lei da esperança total: $E[Y] = E[E[Y|X]]$ . Depois, para calcular $E[g(X)]$ , use a definição: $E[g(X)] = \int g(x) f_X(x) dx$ ou, para momentos, $E[X^2] = Var(X) + \mu^2$ . Essa sequência resolve a maioria das questões de esperança condicional.

Gabarito: letra D