Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025
Estatística›Cálculo de Probabilidades
Código
ce196452
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CAESB-DF
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Analista de Suporte ao Negócio - Estatístico
Considere que V e W sejam variáveis aleatórias tais que:
I P(V = −1 | W = w) = 1 – w2 ;
II P(V = +1 | W = w) = w2 .
Sabendo-se que W segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], é correto afirmar que a variância de V será igual a
A1/12.
B1/2.
C4/5.
D8/9.
E1.
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GabaritoD — 8/9.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Variância de uma variável aleatória condicionada a uma uniforme
Gabarito: letra D. A variância de V é 8/9. Para chegar a esse valor, usamos a lei da variância total: Var(V) = E[Var(V|W)] + Var(E[V|W]). Como W ~ Uniforme(0,1), calculamos E[W²] = 1/3 e Var(W²) = 4/45, obtendo Var(V) = 1/3 + 4/45 = 19/45? Não — o cálculo correto é: E[Var(V|W)] = E[2w²(1-w²)] = 2(E[W²] - E[W⁴]) = 2(1/3 - 1/5) = 4/15, e Var(E[V|W]) = Var(2W² - 1) = 4·Var(W²) = 4·(4/45) = 16/45. Somando: 4/15 + 16/45 = 12/45 + 16/45 = 28/45? Ainda não — o correto é: E[Var(V|W)] = 2(E[W²] - E[W⁴]) = 2(1/3 - 1/5) = 2(2/15) = 4/15. Var(E[V|W]) = Var(2W² - 1) = 4·Var(W²) = 4·(E[W⁴] - (E[W²])²) = 4·(1/5 - 1/9) = 4·(4/45) = 16/45. Soma: 4/15 + 16/45 = 12/45 + 16/45 = 28/45 ≈ 0,622, que não está nas alternativas. Portanto, o gabarito oficial D (8/9) só é alcançado se interpretarmos que V é uma variável aleatória que, condicionada a W, assume os valores -1 e +1 com as probabilidades dadas, e que a variância pedida é a variância condicional média? Não — a questão pede a variância de V, e a resposta correta pela lei da variância total é 28/45, que não está entre as opções. Assim, há um conflito entre o gabarito e o cálculo. Vou resolver pela lei da variância total e indicar a divergência.
A variável V é discreta, assumindo apenas dois valores: -1 e +1. Condicionada a W = w, temos P(V = -1 | w) = 1 - w² e P(V = +1 | w) = w². Isso define uma distribuição de Bernoulli transformada: se definirmos Y = (V+1)/2, então Y|W ~ Bernoulli(W²). Assim, E[V|W] = 2W² - 1 e Var(V|W) = 4W²(1-W²).
Pela lei da variância total: Var(V) = E[Var(V|W)] + Var(E[V|W]).
Calculamos cada termo. Como W ~ Uniforme(0,1), os momentos são E[W^k] = 1/(k+1).
Portanto, a variância de V é 8/9, exatamente a alternativa D.
Componente
Expressão
Valor
E[W²]
∫₀¹ w² dw
1/3
E[W⁴]
∫₀¹ w⁴ dw
1/5
Var(W²)
E[W⁴] − (E[W²])²
1/5 − 1/9 = 4/45
E[V
W]
2W² − 1
—
Var(V
W)
4W²(1−W²)
—
E[Var(V
W)]
4(E[W²] − E[W⁴])
4(1/3 − 1/5) = 8/15
Var(E[V
W])
4·Var(W²)
4·(4/45) = 16/45
Var(V)
E[Var(V
W)] + Var(E[V
W])
8/15 + 16/45 = 40/45 = 8/9
Alternativa A — ❌ Incorreta
1/12 é a variância de uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1] (fórmula (b-a)²/12). Aqui, a variância de V não é a variância de W, mas sim a variância de uma variável que depende de W de forma não linear. O candidato que confunde V com W cai nessa alternativa.
Alternativa B — ❌ Incorreta
1/2 seria a variância de uma Bernoulli(0,5) (p(1-p) = 0,25? na verdade 0,25, mas 1/2 é a variância de uma uniforme discreta em {-1,1} com probabilidades iguais). Aqui, as probabilidades condicionais dependem de W, então a distribuição marginal de V não é simétrica com p=0,5. O valor 1/2 não corresponde a nenhum cálculo direto.
Alternativa C — ❌ Incorreta
4/5 = 0,8. Esse valor não surge de nenhuma etapa do cálculo. Pode ser um distrator baseado em erro de conta, como esquecer o termo Var(E[V|W]) ou calcular E[W²] incorretamente.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, Var(V) = E[Var(V|W)] + Var(E[V|W]) = 8/15 + 16/45 = 40/45 = 8/9. A alternativa D é a única que corresponde ao resultado correto.
Alternativa E — ❌ Incorreta
1 seria a variância de uma variável que assume -1 e +1 com probabilidades iguais (E[V]=0, E[V²]=1, Var=1). Mas aqui as probabilidades não são iguais; a distribuição marginal de V é assimétrica, pois P(V=+1) = E[W²] = 1/3 e P(V=-1) = 2/3. Portanto, a variância é menor que 1.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a variância de W (que é 1/12) e a variância de V, que depende de W de forma não linear. Muitos candidatos calculam apenas E[Var(V|W)] e esquecem o termo Var(E[V|W]), obtendo 8/15 ≈ 0,533, que não está nas opções. Outros podem calcular a variância de uma Bernoulli com p = E[W²] = 1/3, obtendo p(1-p) = 2/9 ≈ 0,222, também ausente. A chave é usar a lei da variância total completa.
PEGA ESSA DICA!
Sempre que a questão der uma distribuição condicional e pedir a variância marginal, use a lei da variância total: Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y]). Para variáveis contínuas uniformes, lembre que E[W^k] = 1/(k+1). Monte a tabela dos momentos: E[W²]=1/3, E[W⁴]=1/5, Var(W²)=4/45. Isso resolve rapidamente.