Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Probabilidade condicional e Teorema de Bayes

Gabarito: letra A (0,375). Aplicando o Teorema de Bayes, $P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0,5 \times 0,3}{0,4} = 0,375$. A questão fornece exatamente as três probabilidades necessárias para o cálculo direto.

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. A fórmula fundamental é $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, que também pode ser escrita como $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$. O Teorema de Bayes é uma consequência direta dessa definição, permitindo "inverter" a condição: $P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.

Nesta questão, temos:

• $P(A) = 0,3$ (probabilidade de altos níveis de sólidos dissolvidos)

• $P(B) = 0,4$ (probabilidade de alto teor de nitratos)

• $P(B|A) = 0,5$ (probabilidade de alto teor de nitratos dado que há altos níveis de sólidos dissolvidos)

Queremos $P(A|B)$, ou seja, a probabilidade de haver altos níveis de sólidos dissolvidos dado que há alto teor de nitratos. Substituindo na fórmula de Bayes:

A pegadinha clássica aqui é inverter a condição: o candidato pode calcular $P(B|A)$ em vez de $P(A|B)$, ou simplesmente dividir $P(A)$ por $P(B)$ sem usar a informação condicional. O Teorema de Bayes existe justamente para corrigir essa inversão.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando o Teorema de Bayes com os dados fornecidos, obtemos exatamente 0,375. O cálculo é direto: $P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0,5 \times 0,3}{0,4} = 0,375$. Esta é a única alternativa que corresponde ao valor correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,300 é simplesmente o valor de $P(A)$, sem qualquer ajuste pela informação condicional. O candidato que escolhe esta opção ignora que a probabilidade condicional $P(A|B)$ deve ser calculada usando o Teorema de Bayes, não apenas copiando a probabilidade marginal.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,500 é o valor de $P(B|A)$, a probabilidade de B dado A. Esta alternativa inverte a condição: o problema pede $P(A|B)$, não $P(B|A)$. É a pegadinha mais comum nesse tipo de questão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,667 é o resultado de dividir $P(B)$ por $P(A)$ ($0,4 / 0,3$), o que não corresponde a nenhuma probabilidade condicional relevante. Também poderia ser obtido por $P(A|B) = P(A)/P(B) = 0,3/0,4 = 0,75$ (que é a alternativa E), mas aqui o valor está invertido.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,750 é o resultado de dividir $P(A)$ por $P(B)$ ($0,3 / 0,4$), ignorando completamente a informação condicional $P(B|A) = 0,5$. O Teorema de Bayes exige o uso dessa informação para obter a probabilidade condicional correta.

Gabarito: letra A