Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2025

Números Complexos: operações, módulo, conjugado e forma polar

Gabarito: letra B. O módulo de um número complexo $z = x + jy$ é dado por $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Para $z_3 = 6 + j8$, temos $|z_3| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. As demais alternativas contêm erros conceituais ou de cálculo, como veremos a seguir.

A questão cobra os conceitos básicos de números complexos: operações algébricas, módulo, conjugado, forma polar e a fórmula de Euler. Vamos revisar cada um deles para entender por que apenas a letra B está correta.

Módulo de um número complexo: para $z = x + jy$, o módulo é a distância do afixo $(x, y)$ até a origem no plano de Argand-Gauss, calculado por $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. É um número real não negativo.

Conjugado: o conjugado de $z = x + jy$ é $\bar{z} = x - jy$. A soma de um número com seu conjugado resulta em $2x$ (número real), mas a subtração resulta em $2jy$ (número imaginário puro).

Forma polar: um número complexo $z = x + jy$ pode ser escrito como $z = |z|(\cos\theta + j\sin\theta)$, onde $\theta = \arg(z)$ é o argumento, tal que $\tan\theta = \frac{y}{x}$. A forma exponencial é $z = |z|e^{j\theta}$.

Fórmula de Euler: $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$. Para $\theta = \pi$, temos $e^{j\pi} = \cos\pi + j\sin\pi = -1 + j\cdot 0 = -1$. Para $\theta = -\pi$, $e^{-j\pi} = \cos(-\pi) + j\sin(-\pi) = -1$. Portanto, $e^{\pm j\pi} = -1$, não $\pm j$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O cálculo de $z_1^2$ está errado. Vamos calcular corretamente:

$(3 + j4)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot j4 + (j4)^2 = 9 + j24 + j^2 \cdot 16 = 9 + j24 - 16 = -7 + j24$.

O resultado correto é $-7 + j24$, não $9 + j40$. O erro típico é esquecer o termo cruzado $2 \cdot 3 \cdot j4 = j24$ e o fato de $j^2 = -1$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O módulo de $z_3 = 6 + j8$ é:

$|z_3| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Portanto, a afirmação está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O conjugado de $z_2 = 5 - j2$ é $\bar{z_2} = 5 + j2$. A subtração é:

$z_2 - \bar{z_2} = (5 - j2) - (5 + j2) = 5 - j2 - 5 - j2 = -j4$.

O resultado é um número imaginário puro, não um número real. A alternativa confunde a subtração com a soma: $z_2 + \bar{z_2} = 10$, que é real.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A forma polar de $z_4 = A + jB$ é $z_4 = |z_4|(\cos\theta + j\sin\theta)$, onde $\theta = \arg(z_4)$ e $\tan\theta = \frac{B}{A}$. Na forma exponencial, $z_4 = |z_4|e^{j\theta}$.

A alternativa escreve $z_4 = |z_4|e^{j \cdot \tg(B/A)}$, o que está errado: o expoente deve ser o argumento $\theta$, não a tangente do ângulo. O correto seria $z_4 = |z_4|e^{j\theta}$, com $\theta = \arctan\left(\frac{B}{A}\right)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Pela fórmula de Euler, $e^{j\pi} = \cos\pi + j\sin\pi = -1 + j\cdot 0 = -1$. Analogamente, $e^{-j\pi} = -1$. Portanto, $e^{\pm j\pi} = -1$, não $\pm j$.

A alternativa confunde o valor de $e^{j\pi}$ com o valor de $j$ (que é $\sqrt{-1}$).

Gabarito: letra B