Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2025

Número máximo de variáveis independentes em regressão múltipla

❌ ERRADO. A fórmula apresentada no item — $N = (n \cdot m)^p$ — não corresponde a nenhum resultado da teoria de regressão linear. O número máximo de variáveis independentes que um modelo de regressão múltipla pode incluir é limitado pelo tamanho da amostra e pelos graus de liberdade, mas não existe uma expressão fechada como essa. A relação correta envolve a necessidade de que o número de parâmetros estimados (incluindo o intercepto) seja menor que o número de observações, ou seja, $p + 1 < n$ (ou $p + 1 \leq n-1$), para que haja graus de liberdade residuais positivos.

A questão mistura conceitos de forma desconexa: fala em "covariância" (que é uma medida de associação entre duas variáveis), "precisão" (que pode se referir à variância do erro ou à matriz de covariâncias dos estimadores) e "menor tamanho amostral necessário" (que é um conceito de poder do teste, não diretamente ligado ao número máximo de preditoras). A fórmula $N = (n \cdot m)^p$ não é um resultado padrão da literatura de regressão. O que se sabe é que, em um modelo de regressão linear múltipla com $p$ variáveis independentes, o número de graus de liberdade do erro é $n - p - 1$, e para que a estimação seja possível, é necessário que $n > p + 1$. Não há uma fórmula que determine o máximo de $p$ em função de $n$, $m$ e $p$ de forma circular como a apresentada.

A banca provavelmente quis testar se o candidato reconhece que o número de variáveis independentes é limitado pelo tamanho da amostra, mas a expressão dada é um absurdo matemático. O item está errado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmativa está incorreta porque a fórmula $N = (n \cdot m)^p$ não tem fundamento teórico. O número máximo de variáveis independentes em um modelo de regressão linear é limitado pela condição de que os graus de liberdade do erro sejam positivos, ou seja, $n - p - 1 > 0$, o que implica $p < n - 1$. Não existe uma relação que envolva o "menor tamanho amostral necessário" $m$ e a "precisão" $p$ dessa forma. Além disso, a notação é confusa: $p$ é usado tanto para o número de variáveis quanto para a precisão, o que é inconsistente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa E (Errado) é a correta, pois o item é falso. A fórmula apresentada não é um resultado válido da teoria de regressão. O correto é que o número de variáveis independentes deve ser menor que o tamanho da amostra menos um, para que haja graus de liberdade suficientes para estimar os parâmetros e realizar inferências. Não há uma expressão fechada como a do enunciado.

Gabarito: letra E (Errado).