GabaritoE — Errado
❌ ERRADO. O coeficiente de determinação (R²) não aumenta sempre com a adição de novas variáveis ao modelo de regressão linear múltipla — na verdade, ele nunca diminui quando se adiciona uma variável, mas pode permanecer igual (quando a variável adicionada não tem nenhum poder explicativo). A afirmação de que "sempre aumenta" é, portanto, incorreta. O que penaliza a inclusão de variáveis sem poder explicativo é o R² ajustado, que pode diminuir. Essa é a distinção central que a banca explora.
O R² mede a proporção da variabilidade total da variável dependente (Y) que é explicada pelo modelo. Matematicamente, é dado por:
em que SQM é a soma dos quadrados do modelo (regressão), SQE é a soma dos quadrados dos erros (resíduos) e SQT é a soma dos quadrados total (SQT = SQM + SQE).
Ao adicionar uma nova variável explicativa, o método dos mínimos quadrados minimiza a SQE — ou seja, a SQE nunca aumenta (na pior hipótese, permanece igual). Como SQT é fixo (depende apenas de Y), se SQE não aumenta, então R² = 1 − SQE/SQT não diminui. Ele só aumenta de fato se a nova variável reduzir a SQE, o que ocorre quando ela tem algum poder explicativo. Se a variável for totalmente irrelevante, a SQE permanece a mesma e o R² fica inalterado — não aumenta.
O R² ajustado, por sua vez, é uma versão corrigida que penaliza a inclusão de variáveis desnecessárias. Sua fórmula é:
em que n é o tamanho da amostra e k é o número de variáveis explicativas. Ao adicionar uma variável sem poder explicativo, o ganho em SQE é mínimo, mas o denominador (n−k−1) diminui, o que pode fazer o R² ajustado diminuir. Por isso, o R² ajustado é a métrica adequada para comparar modelos com diferentes números de variáveis.
A pegadinha da banca está em trocar o comportamento do R² pelo do R² ajustado. O candidato que memoriza "R² aumenta com mais variáveis" sem a ressalva de que ele pode permanecer igual acaba marcando "Certo". Mas a palavra "sempre" torna a afirmação falsa.
Caso | Comportamento do R² ao adicionar variável | Comportamento do R² ajustado | Resultado da afirmação "R² sempre aumenta" |
|---|---|---|---|
Variável com poder explicativo | Aumenta | Pode aumentar ou diminuir | Válido para este caso |
Variável sem poder explicativo | Permanece igual | Diminui | Falso (contraexemplo) |
A alternativa afirma que o R² "sempre aumenta" com a adição de novas variáveis. Isso é falso porque, como explicado, o R² não diminui, mas pode permanecer igual quando a variável adicionada não contribui em nada para explicar a variável dependente. O termo "sempre" é o gatilho do erro: basta um contraexemplo (variável sem poder explicativo) para derrubar a afirmação.
A alternativa "Errado" é a correta, pois a afirmação do enunciado é falsa. O R² não aumenta sempre; ele pode ficar inalterado. O que de fato pode diminuir com a inclusão de variáveis irrelevantes é o R² ajustado, que penaliza a adição de preditores sem poder explicativo. Portanto, a assertiva está errada.
A banca troca o comportamento do R² pelo do R² ajustado. O R² nunca diminui com a adição de variáveis, mas não necessariamente aumenta — pode ficar igual. Já o R² ajustado pode diminuir quando a variável adicionada não agrega explicação. Memorize essa diferença: "R² não diminui, mas não é garantido que aumente; R² ajustado pode diminuir".
Para questões de comparação de modelos, use sempre o R² ajustado como critério, pois ele considera o número de variáveis. Se a questão falar em "aumento do R²", desconfie da palavra "sempre" — ela quase sempre indica uma pegadinha.
Gabarito: letra E (Errado).
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