Um pesquisador organizou um conjunto de dados
contendo 100 observações de 10 variáveis relacionadas à
qualidade do ar em uma cidade. As variáveis incluem medições
de poluentes atmosféricos, como CO, NO2, SO2, e fatores
meteorológicos, como temperatura, umidade, e velocidade do
vento. Para entender a estrutura dos dados e reduzir sua
dimensionalidade, esse pesquisador realizou algumas análises e
concluiu que:
• as três componentes principais explicam 70% da variância
total dos dados;
• as variáveis CO, NO2 e SO2 apresentam altas cargas nas duas
primeiras componentes principais;
• há três clusters proeminentes, que descrevem diferentes
padrões da qualidade do ar em função dos níveis de poluentes
e condições meteorológicas;
• é possível prever, com boa acurácia, a qualidade do ar como
boa, moderada ou ruim com base nos níveis de poluentes e
em fatores meteorológicos.
A partir dessa situação hipotética, julgue o seguinte item.Na análise de componentes principais, o percentual da variância total explicada (70%) é dado pela razão entre o número de componentes explicativas (3) pela quantidade de variáveis presentes na base de dados (10).
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Análise de Componentes Principais: variância explicada
Gabarito: ERRADO. O percentual da variância total explicada pelas componentes principais NÃO é a razão entre o número de componentes e o número de variáveis. Na Análise de Componentes Principais (ACP), a variância explicada por cada componente é dada pelo seu autovalor dividido pela soma de todos os autovalores (que é igual à variância total dos dados). O enunciado confunde o conceito de variância explicada com uma simples proporção aritmética entre quantidades de variáveis.
A ACP é uma técnica de análise multivariada que transforma um conjunto de variáveis originais, possivelmente correlacionadas, em um novo conjunto de variáveis linearmente não correlacionadas, chamadas de componentes principais. Cada componente principal é uma combinação linear das variáveis originais, e eles são ordenados de forma que o primeiro capture a maior variância possível, o segundo a segunda maior, e assim por diante.
A variância total dos dados é a soma das variâncias de todas as variáveis originais (ou a soma dos autovalores da matriz de covariância ou correlação). A proporção da variância total explicada por uma componente principal é calculada como o autovalor correspondente dividido pela soma de todos os autovalores. Por exemplo, se os três primeiros autovalores somam 70% da variância total, isso significa que essas três componentes capturam 70% da informação (variância) contida nas 10 variáveis originais.
A pegadinha da questão está em apresentar uma fórmula simplista e incorreta: a razão entre o número de componentes (3) e o número de variáveis (10) resultaria em 30%, não 70%. Além disso, essa razão não tem nenhum fundamento estatístico. O percentual de variância explicada depende dos autovalores, que são influenciados pelas correlações entre as variáveis, e não simplesmente pela contagem de componentes e variáveis.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta induzir o candidato a aceitar uma definição mecânica e errada de variância explicada. Muitos alunos, ao verem "3 componentes explicam 70%" e "10 variáveis", podem ser tentados a fazer a conta 3/10 = 30% e achar que o item está errado por isso, mas o erro é mais profundo: a definição em si está incorreta. A variância explicada é uma medida baseada nos autovalores, não na contagem de variáveis. Fique atento: a ACP não funciona assim.
Variância explicada na ACP — só Componentes: 3; só Variáveis: 10; Componentes∩Variáveis: 70%
Item — ❌ ERRADO
A afirmativa está errada porque define o percentual de variância explicada como a razão entre o número de componentes e o número de variáveis. Isso não corresponde à definição estatística. A proporção da variância total explicada pelas primeiras componentes é dada por:
onde são os autovalores da matriz de covariância (ou correlação) e é o número total de variáveis. No caso, se as três primeiras componentes explicam 70%, isso significa que a soma dos três primeiros autovalores dividida pela soma de todos os autovalores é igual a 0,70. Não há relação com a contagem de componentes e variáveis.