Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2025

Multiplicação de matrizes: comutatividade

Gabarito: ❌ ERRADO. A multiplicação de matrizes não é comutativa em geral: para duas matrizes quaisquer $A$ e $B$, não é verdade que $A \times B = B \times A$ — essa igualdade só vale em casos particulares (quando as matrizes "comutam"). A afirmação do item generaliza indevidamente uma exceção, transformando-a em regra.

A multiplicação de matrizes é uma operação que não goza da propriedade comutativa. Isso significa que, dadas duas matrizes $A$ e $B$ (desde que os produtos existam), em geral $AB \neq BA$. Há, porém, casos especiais em que $AB = BA$ — dizemos então que as matrizes comutam —, mas isso é exceção, não regra geral.

Para entender por que isso acontece, lembre-se de como o produto é definido: o elemento da linha $i$ e coluna $j$ de $AB$ é obtido multiplicando a linha $i$ de $A$ pela coluna $j$ de $B$. Ao inverter a ordem ($BA$), as linhas e colunas trocam de papel, e o resultado geralmente muda. Além disso, nem sempre os dois produtos existem: para existir $AB$, o número de colunas de $A$ deve ser igual ao número de linhas de $B$; para existir $BA$, a condição é simétrica. Por exemplo, se $A$ é $2 \times 3$ e $B$ é $3 \times 4$, então $AB$ existe (resulta em $2 \times 4$), mas $BA$ nem sequer pode ser calculado.

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato transfere para as matrizes a comutatividade que vale para a multiplicação de números reais. Mas, no universo matricial, a comutatividade é a exceção, não a regra. As propriedades que a multiplicação de matrizes tem são: associativa, distributiva em relação à adição, existência de elemento neutro (matriz identidade) e compatibilidade com a multiplicação por escalar.

Gabarito: ❌ ERRADO.