Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2025

Matriz transposta: definição e operação

Gabarito: letra C (CERTO). A transposta de uma matriz é obtida exatamente pela troca ordenada de linhas por colunas: se $A = (a_{ij})_{m \times n}$, então $A^T = (a_{ji})_{n \times m}$. Essa é a definição clássica de matriz transposta, presente em qualquer material de álgebra linear.

A matriz transposta é uma operação fundamental na teoria das matrizes. Dada uma matriz $A$ de ordem $m \times n$ (m linhas e n colunas), sua transposta $A^T$ terá ordem $n \times m$, e cada elemento $a_{ij}$ de $A$ passa a ocupar a posição $a_{ji}$ em $A^T$. Em outras palavras, a primeira linha de $A$ vira a primeira coluna de $A^T$, a segunda linha vira a segunda coluna, e assim por diante.

Por exemplo, se $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ (ordem $2 \times 3$), então $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ (ordem $3 \times 2$). Observe que as linhas de $A$ (1,2,3 e 4,5,6) tornaram-se as colunas de $A^T$.

A banca explora aqui um conceito simples, mas que é a base para propriedades importantes, como:

• $(A^T)^T = A$ (a transposta da transposta é a matriz original);

• $(A + B)^T = A^T + B^T$ (a transposta da soma é a soma das transpostas);

• $(kA)^T = kA^T$ (a transposta do produto por escalar é o produto do escalar pela transposta);

• $(AB)^T = B^T A^T$ (a transposta do produto é o produto das transpostas em ordem inversa).

A afirmação do enunciado está perfeitamente alinhada com a definição: "invertendo-se suas linhas e colunas" é exatamente o que se faz ao calcular a transposta. Não há pegadinha aqui — é uma questão de conceito direto.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A definição de matriz transposta é precisamente essa: trocar linhas por colunas. Se $A$ é uma matriz $m \times n$, sua transposta $A^T$ é a matriz $n \times m$ cujas colunas são, ordenadamente, as linhas de $A$. O enunciado diz "invertendo-se suas linhas e colunas", o que corresponde exatamente a essa operação. Portanto, a afirmativa está correta.

Alternativa E — ❌ ERRADO

Esta alternativa nega a definição correta. Não há qualquer exceção ou nuance que torne a afirmação falsa: a transposta é, por definição, a matriz obtida pela troca de linhas por colunas. Quem marcou esta alternativa provavelmente confundiu transposição com outra operação, como inversão de matrizes (que é algo completamente diferente e só existe para matrizes quadradas com determinante não nulo).

Gabarito: letra C (CERTO).