Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce202953

Matriz identidade: definição e elementos

Gabarito: ✅ ERRADO. A matriz identidade é a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e todos os demais elementos são iguais a 0 — não é a matriz em que todos os elementos são iguais a 1. Essa última caracterização corresponde à matriz unitária (ou matriz de uns), que é um conceito distinto.

A definição de matriz identidade é um dos conceitos mais básicos da álgebra linear, e a banca explora exatamente a confusão entre "todos os elementos iguais a 1" e "apenas os da diagonal principal iguais a 1". Vamos detalhar.

O que é a matriz identidade?

A matriz identidade de ordem $n$ , denotada por $I_n$ , é uma matriz quadrada $n \times n$ que possui:

1 em cada posição da diagonal principal (onde o índice da linha é igual ao da coluna, $i = j$ );
0 em todas as demais posições (fora da diagonal principal, $i \neq j$ ).

Por exemplo, para $n = 2$ e $n = 3$ :

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Observe que, em $I_3$ , os elementos fora da diagonal principal são todos zero, e os da diagonal principal são todos um. Se todos os elementos fossem 1, teríamos:

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

que não é a matriz identidade — é a chamada matriz de uns (ou matriz unitária, denotada por $J$ ), que tem propriedades completamente diferentes.

Por que a matriz identidade é importante?

A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes: para qualquer matriz $A$ de ordem $m \times n$ , temos:

A \cdot I_n = I_m \cdot A = A

Ou seja, multiplicar uma matriz pela identidade não a altera — daí o nome "identidade". Essa propriedade é fundamental para a definição de matriz inversa: uma matriz $A$ é inversível se existe $B$ tal que $AB = BA = I_n$ .

A pegadinha da banca

A banca troca o conceito de matriz identidade pelo de matriz de uns. O candidato que decora "matriz identidade tem 1 na diagonal" pode se confundir com a frase "todos os elementos iguais a 1", que parece plausível, mas está errada. A definição correta exige dois requisitos simultâneos: diagonal principal com 1 e demais elementos com 0.

Diagonal principal

Fora da diagonal

Valor 0

Identidade (Iₙ)

Matriz de uns (J)

Valor 1

Matriz diagonal

Matriz nula

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NÃO CAIA NESSA!

A banca induz o candidato a confundir a matriz identidade com a matriz de uns (todos os elementos iguais a 1). A pegadinha está na palavra "todos": na identidade, apenas os elementos da diagonal principal são 1; os demais são 0. Se a afirmação dissesse "todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1", estaria correta — mas ela diz "todos os elementos", o que a torna falsa. Fique atento a essa troca sutil: a banca adora inverter o alcance da definição.

Resumo visual

Tipo de matriz	Diagonal principal	Fora da diagonal	Exemplo ( $3 \times 3$ )
Identidade ( $I_n$ )	todos 1	todos 0	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
De uns ( $J$ )	todos 1	todos 1	$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
Diagonal	quaisquer	todos 0	$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$

A matriz identidade é um caso particular de matriz diagonal (em que os elementos da diagonal são todos iguais a 1). Já a matriz de uns não é diagonal (a menos que $n=1$ ), pois possui elementos não nulos fora da diagonal.

✅ ERRADO. A afirmação "Uma matriz identidade é caracterizada por ter todos os elementos iguais a 1" é falsa, pois a definição correta exige que apenas os elementos da diagonal principal sejam 1, e todos os demais sejam 0.