Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2025

Trigonometria no triângulo retângulo: tangente do maior ângulo agudo

Gabarito: letra C (CERTO). Se a hipotenusa é $\frac{13}{12}$ do maior cateto, então a razão entre eles é $\frac{13}{12}$. Pelo Teorema de Pitágoras, os catetos estão na proporção 5 e 12, e a tangente do maior ângulo agudo é $\frac{12}{5} = 2{,}4 > 2$. A afirmação é verdadeira.

A questão explora a relação entre os lados de um triângulo retângulo e as razões trigonométricas dos seus ângulos agudos. O ponto central é identificar, a partir da razão entre a hipotenusa e o maior cateto, as medidas dos três lados e, em seguida, calcular a tangente do maior ângulo agudo.

Passo a passo:

1. Interpretando o enunciado: Seja $h$ a hipotenusa e $c$ o maior cateto. O enunciado diz que $h = \frac{13}{12} c$, ou seja, $\frac{h}{c} = \frac{13}{12}$. Isso significa que a hipotenusa e o maior cateto estão na proporção 13 para 12.

1. Encontrando o outro cateto: Pelo Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo com catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $h$, temos $a^2 + b^2 = h^2$. Se um dos catetos é $12k$ e a hipotenusa é $13k$, então o outro cateto $b$ é dado por:

   $b^2 = (13k)^2 - (12k)^2 = 169k^2 - 144k^2 = 25k^2 \Rightarrow b = 5k$

   Portanto, os lados do triângulo são proporcionais a 5, 12 e 13 (um triângulo pitagórico clássico).

1. Identificando o maior ângulo agudo: Em um triângulo retângulo, o maior ângulo agudo é o que se opõe ao maior cateto. Assim, o ângulo agudo em questão é oposto ao cateto de medida $12k$ e adjacente ao cateto de medida $5k$.

1. Calculando a tangente: A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Portanto:

   $\tan(\theta) = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5} = 2{,}4$

1. Concluindo: Como $2{,}4 > 2$, a afirmação de que a tangente do maior ângulo agudo é maior que 2 está correta.

✅ CERTO.

Gabarito: letra C