Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

Funções: produto de funções e valor máximo

Gabarito: letra C — CERTO. A afirmativa é verdadeira: de fato $f(x) \cdot g(x) = (x+4)(10-x) = -x^2 + 6x + 40 = h(x)$, e o valor máximo de $h(x)$ no intervalo $[0,10]$ é $49$, que é menor que o produto dos máximos de $f$ e $g$, que vale $14 \times 10 = 140$. A questão testa dois conceitos: a igualdade entre o produto de funções e uma função quadrática, e a comparação entre o máximo de um produto e o produto dos máximos.

Vamos por partes. Primeiro, a igualdade: $f(x) \cdot g(x) = (x+4)(10-x) = 10x - x^2 + 40 - 4x = -x^2 + 6x + 40$, que é exatamente a expressão de $h(x)$. Isso confirma a primeira parte da afirmativa.

Agora, os máximos. Como $f$ e $g$ são funções do 1º grau com coeficiente angular positivo e negativo, respectivamente, em um intervalo fechado, seus máximos ocorrem em um dos extremos do domínio $[0,10]$:

• $f(x) = x+4$ é crescente, então seu máximo em $[0,10]$ é $f(10) = 14$.

• $g(x) = 10-x$ é decrescente, então seu máximo em $[0,10]$ é $g(0) = 10$.

Portanto, o produto dos máximos é $14 \times 10 = 140$.

Já $h(x) = -x^2 + 6x + 40$ é uma função quadrática com concavidade para baixo ($a = -1 < 0$), logo possui um valor máximo global no vértice. O vértice é dado por $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$, que está dentro do intervalo $[0,10]$. O valor máximo é $h(3) = -9 + 18 + 40 = 49$.

Comparando: $49 < 140$, então a segunda parte da afirmativa também é verdadeira. A afirmativa inteira é correta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmativa é verdadeira. A igualdade $f(x) \cdot g(x) = h(x)$ foi verificada algebricamente. O valor máximo de $h(x)$ no intervalo $[0,10]$ é $49$, calculado no vértice da parábola ($x=3$). O produto do máximo de $f(x)$ (que é $14$, em $x=10$) pelo máximo de $g(x)$ (que é $10$, em $x=0$) é $140$. Como $49 < 140$, a afirmação "o valor máximo de h(x) é menor que o produto do máximo de f(x) pelo máximo de g(x)" é correta.

Gabarito: letra C