Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

Função par e função modular

Gabarito: Certo (C). A função $f(x) = |x-1| + |x+1|$ é par, pois para todo $x$ real tem-se $f(-x) = f(x)$, já que o módulo de um número é igual ao módulo do seu simétrico. Essa é a definição de função par: $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ do domínio.

Uma função é par quando, para todo elemento $x$ do domínio, o simétrico $-x$ também pertence ao domínio e $f(-x) = f(x)$. Geometricamente, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo $y$ — o eixo $y$ funciona como um espelho. No caso da função modular dada, vamos verificar a condição:

$f(-x) = |-x-1| + |-x+1| = |-(x+1)| + |-(x-1)| = |x+1| + |x-1| = f(x)$.

Como $|-(x+1)| = |x+1|$ e $|-(x-1)| = |x-1|$ (o módulo de um número é sempre igual ao módulo do seu oposto), a igualdade $f(-x) = f(x)$ vale para todo $x \in \mathbb{R}$. Portanto, a função é par.

A banca explora aqui um ponto que confunde muitos candidatos: a presença de módulos com sinais trocados. A intuição pode levar a pensar que $|x-1|$ e $|x+1|$ se comportam de forma diferente quando trocamos $x$ por $-x$, mas o módulo "apaga" o sinal, tornando a soma simétrica. Vamos confirmar com um exemplo numérico: $f(2) = |2-1| + |2+1| = 1 + 3 = 4$ e $f(-2) = |-2-1| + |-2+1| = 3 + 1 = 4$. De fato, $f(2) = f(-2)$.

Outra forma de enxergar: a função pode ser reescrita por partes. Para $x \geq 1$, $f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$; para $-1 \leq x < 1$, $f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$; para $x < -1$, $f(x) = -(x-1) - (x+1) = -2x$. O gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$: um "V" invertido com um platô central, confirmando a paridade.

Gabarito: Certo (C).