Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

Inequação modular: |2x + 2| < |x − 2|

Gabarito: letra E (ERRADO). A inequação |2x + 2| < |x − 2| tem solução no conjunto dos números reais — por exemplo, $x = -1$ satisfaz a desigualdade, pois $|2(-1)+2| = 0$ e $|(-1)-2| = 3$, e $0 < 3$ é verdadeiro. Portanto, a afirmação de que "não tem solução" é falsa.

O que é uma inequação modular

Uma inequação modular é uma desigualdade que envolve expressões dentro de módulos (valor absoluto). O módulo de um número real $a$, denotado $|a|$, representa sua distância até zero na reta numérica, sendo sempre não negativo. Resolver uma inequação modular significa encontrar todos os valores reais da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira — esse conjunto é chamado de conjunto solução.

Como resolver |2x + 2| < |x − 2|

Existem duas abordagens principais:

1. Método dos pontos críticos (análise por intervalos): Os pontos onde as expressões dentro dos módulos se anulam são $x = -1$ (de $2x+2=0$) e $x = 2$ (de $x-2=0$). Esses pontos dividem a reta real em três intervalos: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ e $(2, +\infty)$. Em cada intervalo, os sinais das expressões são fixos, permitindo remover os módulos:

   • Para $x < -1$: $2x+2 < 0$ e $x-2 < 0$, então $|2x+2| = -(2x+2)$ e $|x-2| = -(x-2)$. A inequação vira $-(2x+2) < -(x-2) \Rightarrow -2x-2 < -x+2 \Rightarrow -x < 4 \Rightarrow x > -4$. Combinando com $x < -1$, obtemos $-4 < x < -1$.

   • Para $-1 \le x < 2$: $2x+2 \ge 0$ e $x-2 < 0$, então $|2x+2| = 2x+2$ e $|x-2| = -(x-2)$. A inequação vira $2x+2 < -x+2 \Rightarrow 3x < 0 \Rightarrow x < 0$. Combinando com $-1 \le x < 2$, obtemos $-1 \le x < 0$.

   • Para $x \ge 2$: $2x+2 > 0$ e $x-2 \ge 0$, então $|2x+2| = 2x+2$ e $|x-2| = x-2$. A inequação vira $2x+2 < x-2 \Rightarrow x < -4$, que não se combina com $x \ge 2$. Portanto, nenhuma solução nesse intervalo.

Unindo os intervalos: $S = (-4, -1) \cup [-1, 0) = (-4, 0)$. Ou seja, qualquer $x$ entre $-4$ e $0$ (excluindo $-4$ e $0$) é solução.

1. Método geométrico (interpretação de distância): A desigualdade $|2x+2| < |x-2|$ pode ser reescrita como $2|x+1| < |x-2|$, ou seja, a distância de $x$ a $-1$ multiplicada por 2 é menor que a distância de $x$ a $2$. Geometricamente, isso significa que $x$ está "mais perto" de $-1$ do que de $2$, considerando o fator 2. O ponto de equilíbrio ocorre quando $2|x+1| = |x-2|$, que resolvendo dá $x = 0$ ou $x = -4$. Testando um ponto entre eles, como $x = -1$, vemos que a desigualdade é satisfeita. Portanto, a solução é o intervalo $(-4, 0)$.

A pegadinha da banca

A banca afirma que a inequação "não tem solução", tentando induzir o candidato a acreditar que o conjunto solução é vazio. No entanto, como demonstrado, existem infinitos números reais que satisfazem a desigualdade. O erro comum é tentar resolver a inequação elevando ambos os lados ao quadrado sem considerar corretamente os sinais, ou esquecer de analisar os intervalos definidos pelos pontos críticos.

Conclusão

A inequação $|2x+2| < |x-2|$ tem solução real: $S = (-4, 0)$. Portanto, a afirmação do item está ERRADA.

Gabarito: letra E (ERRADO).