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Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaFunções
Código
ce207650
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
InoversaSul
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática - Anos Finais
Acerca de funções e subconjuntos dos números reais, julgue o item a seguir.Se f (x) = x⁴ -1/ x² -1 e g(x) = x² + 1, então f(x) = g(x) para todo número real x.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Funções racionais e domínio: igualdade de funções

Gabarito: Errado (E). A afirmação de que f(x)=g(x)f(x) = g(x) para todo número real xx é falsa porque ff não está definida em x=1x = 1 e x=−1x = -1 (o denominador x2−1x^2 - 1 se anula), enquanto gg está definida em todos os reais. Para que duas funções sejam iguais, é necessário que tenham o mesmo domínio — e aqui os domínios diferem. A simplificação algébrica f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 só é válida quando x≠±1x \neq \pm 1.

A questão explora um erro clássico: o candidato simplifica a fração e conclui que f(x)=x2+1=g(x)f(x) = x^2 + 1 = g(x) para todo xx, esquecendo que a simplificação exige que o fator cancelado não seja zero. Em outras palavras, a igualdade x4−1x2−1=x2+1\frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = x^2 + 1 vale apenas para x≠±1x \neq \pm 1, pois nesses pontos a expressão original não existe (divisão por zero).

Vamos detalhar:

  • Fatoração: x4−1=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1)x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1).

  • Domínio de ff: x2−1≠0⇒x≠±1x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1. Portanto, Df=R∖{−1,1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.

  • Domínio de gg: g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 é um polinômio, definido para todo x∈Rx \in \mathbb{R}.

  • Igualdade de funções: duas funções são iguais se, e somente se, têm o mesmo domínio e, para cada elemento do domínio, produzem o mesmo valor. Como Df≠DgD_f \neq D_g, as funções não são iguais.

A pegadinha está em "para todo número real xx": a banca induz o candidato a ignorar os pontos de descontinuidade. Mesmo que f(x)=g(x)f(x) = g(x) para todo xx no domínio de ff, a igualdade não vale nos pontos x=±1x = \pm 1, onde ff não existe.

Caso

Atribuição de (x)

(f(x)=x4−1x2−1)(f(x)=\frac{x^4-1}{x^2-1})

(g(x)=x^2+1)

Igualdade (f(x)=g(x))?

1

(x=0)

(1)

(1)

V

2

(x=2)

(5)

(5)

V

3

(x=1)

Indefinida (divisão por zero)

(2)

F

4

(x=-1)

Indefinida (divisão por zero)

(2)

F

Item — ❌ Errado

A afirmação "f(x)=g(x)f(x) = g(x) para todo número real xx" é falsa. O erro está na palavra "todo": ff não está definida em x=1x = 1 e x=−1x = -1, pois o denominador x2−1x^2 - 1 se anula nesses pontos. Já gg está definida em todos os reais. Portanto, as funções têm domínios diferentes e não podem ser iguais. A simplificação f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 é válida apenas para x≠±1x \neq \pm 1.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre simplificação algébrica e igualdade de funções. O candidato apressado cancela x2−1x^2 - 1 e conclui que f=gf = g para todo xx, esquecendo que o cancelamento só é permitido quando o fator não é zero. Nos pontos x=±1x = \pm 1, a expressão original é indefinida — e é exatamente aí que a igualdade falha. Fique atento: sempre verifique o domínio antes de simplificar.

PEGA ESSA DICA!

Para verificar se duas funções são iguais, compare os domínios primeiro. Se os domínios diferirem, as funções não são iguais, mesmo que as expressões simplificadas coincidam. Na prova, desconfie de afirmações com "para todo" — elas costumam esconder exceções de domínio.

Gabarito: Errado (E).

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