Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce207651

Equação com módulo: contando as raízes reais

Gabarito: letra C (CERTO). A equação $x^2 - 5|x| + 4 = 0$ tem quatro raízes reais — mais de três, como afirma o item. A chave é que o módulo duplica os casos: para $x \geq 0$ resolvemos $x^2 - 5x + 4 = 0$ , e para $x < 0$ resolvemos $x^2 + 5x + 4 = 0$ ; cada uma dessas equações do 2º grau tem duas raízes reais, totalizando quatro.

A presença do módulo exige que você quebre a equação em dois casos, conforme o sinal de $x$ . Isso é o que diferencia esta questão de uma equação quadrática comum, que teria no máximo duas raízes. Vamos resolver passo a passo.

Passo 1: Definir os casos do módulo

Por definição, $|x| = x$ quando $x \geq 0$ e $|x| = -x$ quando $x < 0$ . Assim:

Caso 1: $x \geq 0$ → a equação vira $x^2 - 5x + 4 = 0$ .
Caso 2: $x < 0$ → a equação vira $x^2 + 5x + 4 = 0$ (pois $-5|x| = -5(-x) = +5x$ ).

Passo 2: Resolver cada caso

Caso 1: $x^2 - 5x + 4 = 0$

Fatorando: $(x-1)(x-4) = 0$ , logo $x = 1$ ou $x = 4$ . Ambos satisfazem $x \geq 0$ , então são raízes válidas.

Caso 2: $x^2 + 5x + 4 = 0$

Fatorando: $(x+1)(x+4) = 0$ , logo $x = -1$ ou $x = -4$ . Ambos satisfazem $x < 0$ , então também são raízes válidas.

Passo 3: Contar as raízes

As raízes reais são: $x = -4$ , $x = -1$ , $x = 1$ e $x = 4$ . São quatro raízes reais distintas.

Como o item afirma que a equação tem mais de três raízes reais, e encontramos quatro, o item está CERTO.

Caso	Condição sobre x	Equação resultante	Raízes encontradas	Raízes válidas no caso	Total de raízes reais
1	x ≥ 0	x² − 5x + 4 = 0	x = 1, x = 4	x = 1, x = 4 (ambas válidas)	2
2	x < 0	x² + 5x + 4 = 0	x = −1, x = −4	x = −1, x = −4 (ambas válidas)	2
Total	—	—	—	4 raízes reais distintas	4

1Separar casos do módulo
2Resolver x ≥ 0
3Resolver x < 0
4Verificar raízes no intervalo

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NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: o candidato resolve apenas o caso $x \geq 0$ , encontra duas raízes (1 e 4) e conclui que o item está errado. Mas o módulo duplica as soluções — para cada raiz positiva, há uma raiz negativa correspondente. Sempre que houver $|x|$ numa equação, lembre-se de testar os dois sinais de $x$ .

PEGA ESSA DICA!

Em equações com módulo, o método é sempre o mesmo: (1) separe em dois casos ( $x \geq 0$ e $x < 0$ ); (2) resolva cada equação resultante; (3) verifique se cada raiz encontrada pertence ao intervalo do caso — essa verificação é obrigatória e evita aceitar raízes falsas. Aqui, todas as quatro passaram no teste.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Equação com módulo: contando as raízes reais

Passo 1: Definir os casos do módulo

Passo 2: Resolver cada caso

Passo 3: Contar as raízes