Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

MDC e múltiplos: análise da condição

Gabarito: letra C (Certo). Se o MDC de A e B é 525, então B é múltiplo de A. Isso ocorre porque A é um produto de três primos distintos e B é um produto de um inteiro ímpar e um inteiro par, o que garante que B é par. Como 525 é ímpar, o MDC não pode conter o fator 2, logo A não é par, e portanto A divide B.

Vamos decompor a situação. A é um produto de três primos distintos, ou seja, $A = p \cdot q \cdot r$, com $p$, $q$ e $r$ primos distintos. B é um produto de um inteiro ímpar e um inteiro par, portanto B é par (pois o produto de um par por qualquer inteiro é par). O MDC entre A e B é 525, que fatorado é $525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$. Como 525 é ímpar, o MDC não possui o fator 2. Isso significa que A não é par, pois se A fosse par, o MDC teria o fator 2. Logo, A é ímpar.

Como A é ímpar e é produto de três primos distintos, nenhum desses primos é 2. O MDC de A e B é o produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes. Como o MDC é 525, todos os fatores primos de 525 (3, 5 e 7) devem estar em A e em B. Além disso, como A é produto de exatamente três primos distintos, A deve ser exatamente $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ (ou alguma permutação, mas o produto é o mesmo). Portanto, A = 105.

O MDC de A e B é 525, e A = 105. Como 525 é múltiplo de 105 ($525 = 5 \cdot 105$), e o MDC divide ambos os números, temos que A divide B. De fato, se o MDC de A e B é 525, então 525 divide B. Como 525 é múltiplo de A, A divide 525, e portanto A divide B. Logo, B é múltiplo de A.

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, A = 105 e o MDC(A, B) = 525. Como 525 é múltiplo de 105, e o MDC divide B, temos que 105 divide B, ou seja, B é múltiplo de A.

Gabarito: letra C (Certo).