Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Aritmética e Problemas
Código
ce207657
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
InoversaSul
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática - Anos Finais
Considere que A e B sejam números inteiros tais que A seja um produto de três primos distintos e B, um produto de um número inteiro ímpar e de um número inteiro par.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.É possível que o máximo divisor comum de A e B seja igual a 12.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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MDC e fatoração prima: a impossibilidade de mdc(A,B) = 12
Gabarito: ERRADO. Como A é produto de três primos distintos, sua fatoração prima tem exatamente três fatores primos, todos com expoente 1. Para que o MDC de A e B seja 12 = 2² × 3, seria necessário que A tivesse o fator 2 com expoente pelo menos 2 — o que contradiz a definição de A. Logo, é impossível que mdc(A,B) = 12.
A questão explora a relação entre a fatoração prima de um número e o MDC. O MDC é o produto dos fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes. Se A é produto de três primos distintos, cada fator primo aparece exatamente uma vez em A. Portanto, qualquer divisor comum de A e B só pode conter fatores primos com expoente 1 — nunca expoente 2 ou maior.
O número 12 = 2² × 3 exige que o fator 2 apareça com expoente 2. Como A não possui nenhum fator primo com expoente 2, o MDC de A e B jamais poderá conter 2². Assim, o MDC máximo possível entre A e B é um número livre de quadrados (produto de primos distintos), como 6, 10, 15, 30 etc., mas nunca 12.
Caso
Fatoração de A (3 primos distintos)
Fatoração de 12 = 2² × 3
MDC(A,B) = 12 possível?
1
p₁ × p₂ × p₃ (todos expoente 1)
2² × 3 (exige expoente 2 no fator 2)
Não — A não tem 2²
2
Ex.: 2 × 3 × 5 = 30
2² × 3 = 12
Não — A só tem 2¹
3
Ex.: 2 × 3 × 7 = 42
2² × 3 = 12
Não — A só tem 2¹
4
Ex.: 3 × 5 × 7 = 105
2² × 3 = 12
Não — A não tem fator 2
Item — ❌ ERRADO
A afirmação de que é possível mdc(A,B) = 12 é falsa. Vejamos o porquê:
A é produto de três primos distintos: por exemplo, A = 2 × 3 × 5 = 30, ou A = 2 × 3 × 7 = 42, ou A = 3 × 5 × 7 = 105. Em qualquer caso, a fatoração prima de A tem a forma , com primos distintos. Nenhum fator aparece com expoente maior que 1.
B é produto de um inteiro ímpar e um inteiro par: isso apenas garante que B é par (pois contém o fator 2), mas não impõe restrição sobre o expoente de 2 em B. B pode ser, por exemplo, 2 × 3 = 6, ou 2 × 9 = 18, ou 4 × 3 = 12, etc.
MDC = 12 = 2² × 3: para que o MDC seja 12, o fator 2 deve aparecer com expoente 2 no MDC. Isso exigiria que A tivesse pelo menos 2² em sua fatoração. Mas A, por definição, tem apenas três primos distintos, todos com expoente 1. Logo, A não pode conter 2², e o MDC não pode conter 2².
Portanto, a afirmação é ERRADA.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta induzir o candidato a pensar que, como B pode ser 12 (produto de ímpar 3 e par 4), o MDC poderia ser 12. Mas o MDC depende dos fatores comuns a A e B, e A nunca terá o fator 2². O candidato que não fatora A corretamente cai na armadilha de achar que basta B ter os fatores.
PEGA ESSA DICA!
Sempre que a questão falar em "produto de primos distintos", lembre-se: todos os expoentes são 1. Isso limita o MDC a números livres de quadrados. Para testar se um número pode ser MDC, verifique se ele é livre de quadrados — se não for, é impossível.