Questão de Matemática — Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais
Código
ce207658
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
InoversaSul
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática - Anos Finais
Considere que A e B sejam números inteiros tais que A seja um produto de três primos distintos e B, um produto de um número inteiro ímpar e de um número inteiro par.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.No caso de A ser um inteiro ímpar, então, necessariamente, A > 120.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Números primos e paridade: produto de três primos distintos
Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que, se A é um inteiro ímpar, então necessariamente A > 120, é falsa. O menor produto de três primos distintos é 2 × 3 × 5 = 30, que é par. Para que o produto seja ímpar, os três primos devem ser todos ímpares; o menor produto ímpar de três primos distintos é 3 × 5 × 7 = 105, que é menor que 120. Portanto, existe um contraexemplo (A = 105) que satisfaz as condições e contradiz a afirmação.
A questão explora dois conceitos fundamentais da aritmética: a paridade de um produto e a definição de número primo. Um número é primo quando tem exatamente dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Os primeiros primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13... Note que 2 é o único primo par — todos os demais primos são ímpares.
A paridade de um produto segue uma regra simples: o produto de vários números inteiros é ímpar se, e somente se, todos os fatores forem ímpares. Basta um único fator par para que o produto seja par. Como A é o produto de três primos distintos, para que A seja ímpar, os três primos devem ser ímpares (nenhum deles pode ser o 2).
O menor produto ímpar de três primos distintos é obtido com os três menores primos ímpares: 3, 5 e 7. O produto é 3 × 5 × 7 = 105. Como 105 é um inteiro ímpar, é um produto de três primos distintos (3, 5 e 7) e é menor que 120, ele serve como contraexemplo que derruba a afirmação "necessariamente, A > 120".
A pegadinha da banca está em induzir o candidato a pensar no menor produto de três primos distintos em geral (2 × 3 × 5 = 30), que é par, e esquecer de considerar a condição de A ser ímpar. Quando se impõe a paridade ímpar, o fator 2 é excluído, e o menor produto possível passa a ser 105, não 30.
Caso
Atribuição de A
Resultado
Produto geral mínimo (2, 3, 5)
A = 30
Par — não serve como contraexemplo
Produto ímpar mínimo (3, 5, 7)
A = 105
Ímpar e A < 120 — contraexemplo válido
Conclusão da afirmação
A > 120
Falsa, pois A = 105 contradiz
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que, se A é ímpar, então A > 120. Isso é falso, pois A = 3 × 5 × 7 = 105 é um produto de três primos distintos, é ímpar e é menor que 120. O erro está em não considerar que, para o produto ser ímpar, o primo 2 não pode estar entre os fatores, o que reduz o menor produto possível para 105.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A afirmação é falsa. O contraexemplo A = 105 (produto de 3, 5 e 7, todos primos distintos e ímpares) mostra que é possível ter A ímpar sem que A seja maior que 120. Portanto, a alternativa correta é a letra E (ERRADO).
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta fazer o candidato pensar no menor produto de três primos distintos como 2 × 3 × 5 = 30, que é par, e concluir que, como 30 < 120, a afirmação seria verdadeira. Mas a condição "A é ímpar" exclui o primo 2, e o menor produto ímpar possível é 3 × 5 × 7 = 105, que é menor que 120. O candidato que não percebe essa exclusão cai na armadilha.
PEGA ESSA DICA!
Para questões de paridade de produtos, lembre-se: o produto é ímpar somente se todos os fatores forem ímpares. Quando a questão impõe que o resultado é ímpar, elimine imediatamente o fator 2 (o único primo par) e trabalhe com os menores primos ímpares. Essa é a chave para encontrar o contraexemplo correto.