Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

MMC e fatoração: determinando A a partir do mínimo múltiplo comum

Gabarito: letra C (CERTO). Se o MMC de A e B é 900 e A é um produto de três primos distintos, então A = 30 é uma possibilidade real — mas não é a única. A afirmação está correta porque existe pelo menos um par (A, B) que satisfaz todas as condições, como A = 30 e B = 60, cujo MMC é 900. A questão não exige que A seja o único valor possível, apenas que a situação descrita possa ocorrer.

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de ambos. Para encontrá-lo, fatoramos cada número em seus fatores primos e tomamos cada fator com o maior expoente que aparece. Por exemplo, o MMC de 12 e 18 é 36, pois 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², então pegamos 2² e 3², resultando em 4 × 9 = 36.

A condição sobre A é que ele seja um produto de três primos distintos. Isso significa que A tem exatamente três fatores primos diferentes, cada um elevado à primeira potência. Por exemplo, 30 = 2 × 3 × 5, 42 = 2 × 3 × 7, 66 = 2 × 3 × 11, 70 = 2 × 5 × 7, 105 = 3 × 5 × 7, e assim por diante. Já a condição sobre B é que ele seja um produto de um número inteiro ímpar e de um número inteiro par — o que simplesmente garante que B é par, pois qualquer produto que inclua um fator par é par.

Para verificar se A = 30 é compatível com MMC(A, B) = 900, precisamos encontrar um B que satisfaça as condições. Fatorando 900, temos 900 = 2² × 3² × 5². Se A = 30 = 2 × 3 × 5, então o MMC de A e B será 900 se B contiver os fatores que faltam para completar os expoentes: B precisa ter 2², 3² e 5², ou seja, B = 4 × 9 × 25 = 900. Mas B = 900 é par (é produto de ímpar 450 e par 2), então serve. Porém, também podemos escolher B = 60 = 2² × 3 × 5, que é par (produto de ímpar 15 e par 4), e o MMC de 30 e 60 é 60, não 900. Precisamos de B que complete os expoentes: B = 2² × 3² × 5² = 900, ou B = 2² × 3² × 5 = 180, ou B = 2² × 3 × 5² = 300, ou B = 2 × 3² × 5² = 450. Todos esses são pares e funcionam. Portanto, existe B que satisfaz, e a afirmação é verdadeira.

A pegadinha desta questão é que o candidato pode pensar que a afirmação exige que A seja o único valor possível, quando na verdade basta que exista um caso em que A = 30 e o MMC seja 900. A banca explora a diferença entre "necessariamente A = 30" e "é possível que A = 30". Como o enunciado diz "Caso o mínimo múltiplo comum de A e B seja igual a 900, então A = 30", a leitura correta é a de possibilidade, não de necessidade.

Guarde este critério: para julgar uma afirmação condicional, verifique se existe pelo menos um par (A, B) que satisfaça todas as condições. Se existir, a afirmação é verdadeira — mesmo que outros valores de A também sejam possíveis.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação é verdadeira porque existe um par (A, B) que satisfaz todas as condições: A = 30 = 2 × 3 × 5 (produto de três primos distintos) e B = 900 = 2² × 3² × 5² (produto de um ímpar 450 e um par 2). O MMC de 30 e 900 é 900, pois 900 é múltiplo de 30. Portanto, a situação descrita é possível, e a afirmação "então A = 30" é correta.

A condição sobre B é apenas que ele seja par — qualquer B que complete os expoentes de 900 funciona. Por exemplo, B = 180 = 2² × 3² × 5 também é par (ímpar 45 × par 4) e MMC(30, 180) = 180, não 900. Mas B = 900 funciona perfeitamente. Como existe pelo menos um caso válido, o item está certo.

Gabarito: letra C (CERTO).