Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Aritmética e Problemas
Código
ce207661
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
InoversaSul
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática - Anos Finais
Considere que A e B sejam números inteiros tais que A seja um produto de três primos distintos e B, um produto de um número inteiro ímpar e de um número inteiro par.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.Caso o mínimo múltiplo comum de A e B seja igual a 3.150, então B necessariamente é um múltiplo de 450.
CCerto
EErrado
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GabaritoC — Certo
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MMC, fatoração e divisibilidade
Gabarito: letra C (CERTO). Se o MMC de A e B é 3.150, então B é necessariamente múltiplo de 450, porque 3.150 = 2 × 3² × 5² × 7 e, pelas restrições sobre A (produto de três primos distintos) e B (produto de um ímpar e um par), a fatoração de B precisa conter exatamente os fatores 2, 3² e 5², cujo produto é 450. A demonstração decorre da definição de MMC: ele é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomados com os maiores expoentes.
Vamos entender o raciocínio por partes. Primeiro, fatoramos 3.150:
A é um produto de três primos distintos. Isso significa que A tem exatamente três fatores primos, todos diferentes entre si. Exemplos: 2 × 3 × 5 = 30, 2 × 3 × 7 = 42, 3 × 5 × 7 = 105, etc.
B é um produto de um número inteiro ímpar e de um número inteiro par. Isso garante que B é par (pois tem um fator par) e, portanto, divisível por 2. Além disso, B pode ter outros fatores.
Como o MMC de A e B é 3.150, tanto A quanto B devem ser divisores de 3.150. Ou seja, os fatores primos de A e de B estão todos contidos no conjunto {2, 3, 5, 7}, com expoentes limitados aos que aparecem em 3.150 (2¹, 3², 5², 7¹).
Agora, vamos determinar quais fatores devem estar em B. Como o MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes, se um fator primo aparece em 3.150 com um certo expoente, ele deve aparecer em A ou em B (ou em ambos) com esse expoente máximo.
O fator 2 aparece em 3.150 com expoente 1. Como A é produto de três primos distintos, A pode ou não conter o 2. Mas B, por ser produto de um par, necessariamente contém o fator 2. Portanto, o 2 vem de B.
O fator 3 aparece com expoente 2 (3²). A, sendo produto de três primos distintos, pode conter o 3, mas com expoente 1 (pois os primos são distintos). Para que o MMC tenha 3², o expoente 2 deve vir de B. Logo, B contém 3².
O fator 5 aparece com expoente 2 (5²). A pode conter o 5, mas com expoente 1. Portanto, o 5² deve vir de B.
O fator 7 aparece com expoente 1. Esse pode vir de A ou de B, não importa para a conclusão.
Assim, B deve conter, no mínimo, os fatores 2, 3² e 5². O produto desses fatores é:
2 × 3² × 5² = 2 × 9 × 25 = 450.
Portanto, B é necessariamente múltiplo de 450. A afirmação está correta.
Divisores do MMC — só Conjunto A: 2,3,5,7 (expoente 1); só Conjunto B: 2,3²,5²; Conjunto A∩Conjunto B: fatores comuns
PEGA ESSA DICA!
Em questões de MMC com restrições sobre os números, fatore o MMC e analise quais fatores obrigatoriamente pertencem a cada número, com base nas propriedades dadas (par/ímpar, quantidade de primos, etc.). Aqui, a palavra-chave é "produto de um ímpar e um par": ela garante que B é par, e isso força o fator 2 em B. Sem essa restrição, o 2 poderia vir de A, e B não precisaria ser múltiplo de 450.