Considere a existência hipotética de um colégio em que haja 300 meninos e 252 meninas; a partir dessa situação, julgue o item a seguir.É possível agrupar todas as meninas em vários grupos, de modo que alguns grupos contenham 7 meninas, outros contenham 5 meninas e os demais grupos contenham 3 meninas.
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GabaritoC — Certo
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Agrupamento de meninas: equação diofantina linear
Gabarito: ✅ CERTO. É possível agrupar as 252 meninas em grupos de 7, 5 e 3, pois a equação admite solução inteira não negativa — por exemplo, , , (36 grupos de 7 meninas). O item não exige que os três tamanhos de grupo sejam usados simultaneamente, apenas que seja possível agrupar todas as meninas usando esses tamanhos.
O problema é um caso clássico de equação diofantina linear com três incógnitas: , onde , e são as quantidades de grupos de 7, 5 e 3 meninas, respectivamente. A pergunta é se existem inteiros não negativos , , que satisfaçam a equação.
A condição necessária e suficiente para existência de solução inteira (não necessariamente não negativa) é que o máximo divisor comum dos coeficientes divida o termo independente. Aqui, , e divide , então a equação tem solução inteira. Mas precisamos de solução não negativa — e isso é garantido na prática, pois podemos usar apenas um tipo de grupo: , exato. Logo, , , é uma solução válida.
A banca explora a pegadinha da interpretação: o candidato pode achar que é obrigatório usar os três tamanhos de grupo, ou que a divisão deve ser exata para cada tamanho individualmente. Mas o enunciado diz "alguns grupos contenham 7, outros 5 e os demais 3" — isso permite que a quantidade de grupos de um ou dois tamanhos seja zero. A palavra "alguns" não impõe que todos os tamanhos apareçam.
NÃO CAIA NESSA!
A banca induz o candidato a pensar que é obrigatório usar os três tamanhos de grupo (7, 5 e 3) simultaneamente. Mas o enunciado diz "alguns grupos contenham 7, outros 5 e os demais 3" — isso permite que a quantidade de grupos de um ou dois tamanhos seja zero. A palavra "alguns" não impõe que todos os tamanhos apareçam. Como 252 é divisível por 7, basta formar 36 grupos de 7 meninas e o problema está resolvido. 💪
Caso
Atribuição (x, y, z)
Resultado
1
x = 36, y = 0, z = 0
Consistente (7×36 = 252)
2
x = 30, y = 6, z = 4
Consistente (210 + 30 + 12 = 252)
3
x = 0, y = 0, z = 84
Consistente (3×84 = 252)
4
x = 0, y = 50, z = 0
Inviável (5×50 = 250 ≠ 252)
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A afirmação é verdadeira. Basta observar que , ou seja, é possível formar 36 grupos com 7 meninas cada, sem usar grupos de 5 ou 3. Isso satisfaz a condição do enunciado, que não exige que os três tamanhos sejam utilizados. A equação tem solução inteira não negativa, como , , .
Alternativa E — ❌ Incorreta
A afirmação de que não é possível agrupar é falsa. O erro está em supor que seria necessário usar os três tamanhos de grupo ou que a divisão exata por cada tamanho individualmente fosse obrigatória. Como 252 é múltiplo de 7, a solução trivial já resolve. Mesmo que se quisesse usar os três tamanhos, haveria outras soluções, como , , (pois ).
PEGA ESSA DICA!
Em questões de agrupamento, verifique primeiro se o total é divisível por um dos tamanhos de grupo. Se for, a resposta é imediatamente "certo", pois não há exigência de usar todos os tamanhos. Essa é a forma mais rápida de resolver sem montar equações complexas.