Números primos e divisibilidade
Gabarito: Certo (C). Existe um número primo ímpar P que divide tanto 300 quanto 252: o número 3. Como 300 e 252 são ambos divisíveis por 3, é possível agrupar os meninos em grupos de 3 (100 grupos) e as meninas em grupos de 3 (84 grupos). A afirmação é verdadeira.
A questão testa o conceito de número primo e de divisibilidade. Um número natural maior que 1 é primo quando possui apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Os primeiros primos são {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}. O número 1 não é primo nem composto, e 2 é o único primo par.
Para que todos os meninos (300) possam ser agrupados em grupos de tamanho P, P deve ser um divisor de 300. Da mesma forma, para que todas as meninas (252) possam ser agrupadas em grupos de tamanho P, P deve ser um divisor de 252. Portanto, precisamos de um número primo ímpar que seja divisor comum de 300 e 252.
Vamos fatorar os dois números:
300 = 2² × 3 × 5²
252 = 2² × 3² × 7
Os divisores comuns são formados pelos fatores primos comuns com os menores expoentes: 2² × 3 = 12. Os divisores comuns de 300 e 252 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Entre eles, os números primos são 2 e 3. O número 2 é par, mas o número 3 é ímpar e primo. Portanto, P = 3 satisfaz a condição.
A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem pensar que precisam encontrar um primo que divida ambos os números, mas podem esquecer de verificar se o número é ímpar. O número 2 também é um divisor comum, mas não é ímpar. O número 3 é a resposta.
Caso | P (primo ímpar) | 300 divisível por P? | 252 divisível por P? | Resultado |
|---|
1 | 3 | V | V | Consistente |
2 | 2 (par, excluído) | V | V | Inviável (não é ímpar) |
3 | 5 | V | F | Inviável |
4 | 7 | F | V | Inviável |
Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO
A afirmação é verdadeira. O número primo ímpar P = 3 divide tanto 300 quanto 252. Com grupos de 3, temos 300 ÷ 3 = 100 grupos de meninos e 252 ÷ 3 = 84 grupos de meninas. Portanto, existe um número primo ímpar que permite o agrupamento.
Alternativa E — ❌ Errado
A afirmação não é falsa. Como demonstrado, o número 3 é um primo ímpar que divide ambos os totais, tornando o agrupamento possível. Portanto, a alternativa "Errado" está incorreta.
Gabarito: Certo (C).