Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Aritmética e Problemas
Código
ce207667
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
InoversaSul
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática - Anos Finais
Considere a existência hipotética de um colégio em que haja 300 meninos e 252 meninas; a partir dessa situação, julgue o item a seguir.
Existem dois números primos ímpares P e Q distintos tais que todos os meninos podem ser agrupados em vários grupos de tamanho P×Q e todas as meninas podem ser agrupadas em vários grupos também de tamanho P×Q.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Números primos e divisibilidade: agrupamento de meninos e meninas
Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação é falsa porque, para que todos os meninos (300) e todas as meninas (252) possam ser agrupados em grupos de tamanho P×Q, o produto P×Q deve ser um divisor comum de 300 e 252. Como P e Q são primos ímpares distintos, P×Q é um número ímpar composto por dois fatores primos ímpares. O único divisor ímpar composto que 300 e 252 têm em comum é 3, mas 3 não pode ser escrito como produto de dois primos ímpares distintos. Portanto, não existem tais P e Q.
O problema exige que o tamanho do grupo, P×Q, seja um divisor tanto de 300 quanto de 252, ou seja, um divisor comum. Vamos fatorar os dois números:
300 = 2² × 3 × 5²
252 = 2² × 3² × 7
Os divisores comuns são formados pelos fatores primos comuns com os menores expoentes: 2² × 3 = 12. Os divisores comuns de 300 e 252 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Agora, P×Q deve ser um desses divisores comuns, e P e Q devem ser primos ímpares distintos. O produto de dois primos ímpares distintos é sempre um número ímpar composto (por exemplo, 3×5=15, 3×7=21, 5×7=35). Entre os divisores comuns, os ímpares são 1 e 3. O número 1 não é composto, e 3 não pode ser decomposto em dois primos ímpares distintos (3 = 1×3, mas 1 não é primo). Portanto, não existe nenhum divisor comum que seja produto de dois primos ímpares distintos.
A pegadinha está em pensar que, como 300 e 252 são ambos divisíveis por 3, bastaria escolher P=3 e Q=1, mas 1 não é primo. Ou ainda, tentar usar P=3 e Q=5, mas 15 não divide 252. A condição de P e Q serem primos ímpares distintos é crucial: o produto P×Q tem que ser um divisor comum, e isso não é possível.
Divisor comum (d)
d é ímpar?
d é produto de dois primos ímpares distintos?
Conclusão
1
Sim
Não (1 não é composto)
Inviável
2
Não
—
Inviável
3
Sim
Não (3 = 1×3, mas 1 não é primo)
Inviável
4
Não
—
Inviável
6
Não
—
Inviável
12
Não
—
Inviável
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que existem dois números primos ímpares P e Q distintos tais que todos os meninos e todas as meninas podem ser agrupados em grupos de tamanho P×Q. Isso exigiria que P×Q fosse um divisor comum de 300 e 252. Como vimos, os divisores comuns são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Os únicos ímpares são 1 e 3. O número 1 não é composto, e 3 não pode ser escrito como produto de dois primos ímpares distintos. Portanto, a afirmação é falsa.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A afirmação é ERRADA. Não existem dois números primos ímpares P e Q distintos que satisfaçam a condição. O raciocínio: para que o agrupamento seja possível, P×Q deve dividir tanto 300 quanto 252. Fatorando, 300 = 2²·3·5² e 252 = 2²·3²·7. Os divisores comuns são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Nenhum deles é produto de dois primos ímpares distintos (1 não é composto, 3 é primo único, e os demais são pares). Logo, a condição é impossível.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta induzir o candidato a pensar que, como 300 e 252 são divisíveis por 3, bastaria escolher P=3 e Q=1. Mas 1 não é primo! E mesmo que tentasse P=3 e Q=5, o produto 15 não divide 252. A chave é lembrar que P×Q precisa ser um divisor comum, e o produto de dois primos ímpares distintos é sempre um número ímpar composto — e o único divisor comum ímpar composto possível seria 3, que não é produto de dois primos. Fique atento: a condição de P e Q serem distintos elimina qualquer tentativa de usar o mesmo primo duas vezes.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de agrupamento, sempre fatore os números e liste os divisores comuns. Depois, verifique se algum deles atende às condições específicas (no caso, ser produto de dois primos ímpares distintos). Treine com outros pares de números para fixar o método: por exemplo, 30 e 42 têm divisores comuns 1, 2, 3 e 6 — nenhum é produto de dois primos ímpares distintos. Isso ajuda a reconhecer o padrão rapidamente na prova.