Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

Propriedades dos números reais: inverso e ordem

Gabarito: ERRADO. A afirmação de que, se $a < b$, então $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ não é verdadeira para todos os números reais — ela falha quando os números têm sinais diferentes ou quando um deles é zero. A propriedade de inverter a desigualdade ao tomar os inversos só vale quando ambos os números têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

A questão explora uma propriedade clássica da relação de ordem nos números reais: a função $f(x) = \frac{1}{x}$ é decrescente em cada um dos intervalos $(-\infty, 0)$ e $(0, +\infty)$, mas não é decrescente em todo o domínio. Isso significa que, se $a$ e $b$ estão no mesmo intervalo (ambos positivos ou ambos negativos), então $a < b$ implica $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (a desigualdade inverte). Porém, se $a$ e $b$ estão em intervalos diferentes (um negativo e outro positivo), a relação entre os inversos é a mesma da relação entre os números: como $a < 0 < b$, temos $\frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{b}$, ou seja, $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ — o que contradiz a afirmação do enunciado.

Além disso, a afirmação nem sequer está bem definida para todos os casos: se $a = 0$ ou $b = 0$, o inverso não existe (divisão por zero). Portanto, a proposição é falsa, pois existem contraexemplos, como $a = -1$ e $b = 1$: temos $a < b$, mas $\frac{1}{a} = -1$ e $\frac{1}{b} = 1$, logo $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$, e não o contrário.

Análise do item

Item — ❌ ERRADO

A afirmação "Caso $a$ e $b$ sejam números reais tais que $a < b$, então $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$" está errada. A regra correta é: se $a$ e $b$ têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) e $a < b$, então $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (a desigualdade inverte). Mas se os sinais são diferentes, a desigualdade se mantém: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. O enunciado não impõe a condição de mesmo sinal, então a afirmação é falsa.

Contraexemplo: tome $a = -1$ e $b = 1$. Temos $a < b$ (pois $-1 < 1$), mas $\frac{1}{a} = -1$ e $\frac{1}{b} = 1$, logo $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$, e não $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$. Isso mostra que a proposição não vale para todos os reais.

Gabarito: ERRADO