Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

Números Irracionais: o produto de dois irracionais

❌ ERRADO. O produto de dois números irracionais nem sempre é um número irracional. A afirmação do item é falsa porque existem contraexemplos claros, como $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$, em que o produto de dois irracionais resulta em um número racional. A banca explora a generalização indevida de que a propriedade de fechamento dos racionais se estenderia aos irracionais, o que não ocorre.

O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que não podem ser expressos como uma razão $\frac{a}{b}$ de dois inteiros. Em outras palavras, são números cuja representação decimal possui infinitas casas decimais não periódicas, como $\sqrt{2} = 1,4142135\ldots$, $\pi = 3,14159265\ldots$ e $e = 2,718281\ldots$.

A confusão central está em pensar que, assim como o conjunto dos racionais é fechado para a multiplicação (o produto de dois racionais é sempre racional), o conjunto dos irracionais também seria. Isso é falso. O conjunto dos irracionais não é fechado para a multiplicação, nem para a adição. Vejamos:

• $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (racional) — o contraexemplo clássico.

• $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ (racional).

• $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ (racional).

A razão pela qual isso acontece é que, ao multiplicar dois irracionais, as partes irracionais podem se "cancelar" ou se combinar de forma a gerar um número inteiro ou fracionário. Não há uma estrutura algébrica que garanta a permanência no conjunto dos irracionais após a operação.

Gabarito: letra E (ERRADO).