GabaritoE — Errado
Gabarito: ERRADO (letra E). Os números 2.783 e 26.496 não são relativamente primos, pois possuem um divisor comum maior que 1: o número 3. Dois números são relativamente primos (ou primos entre si) quando o único divisor positivo comum entre eles é o 1, ou seja, quando o MDC (máximo divisor comum) é igual a 1. Como 2.783 e 26.496 são ambos divisíveis por 3, o MDC é pelo menos 3, o que torna a afirmação falsa.
Para verificar a divisibilidade por 3, usamos o critério da soma dos algarismos: um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3. Vejamos:
2.783: soma dos algarismos = 2 + 7 + 8 + 3 = 20. Como 20 não é múltiplo de 3, 2.783 não é divisível por 3.
26.496: soma dos algarismos = 2 + 6 + 4 + 9 + 6 = 27. Como 27 é múltiplo de 3, 26.496 é divisível por 3.
Portanto, 26.496 é divisível por 3, mas 2.783 não é. Então, o divisor comum 3 não existe. Precisamos verificar se há outro divisor comum. Vamos fatorar os números:
2.783: testando divisores primos até a raiz quadrada (≈ 52,7): não é divisível por 2, 3, 5, 7 (7×397=2779, sobra 4), 11 (11×253=2783, exato! 11×253 = 2783). Então 2.783 = 11 × 253. E 253 = 11 × 23. Logo, 2.783 = 11² × 23.
26.496: é par, divisível por 2. 26.496 ÷ 2 = 13.248; ÷ 2 = 6.624; ÷ 2 = 3.312; ÷ 2 = 1.656; ÷ 2 = 828; ÷ 2 = 414; ÷ 2 = 207. Então 26.496 = 2⁷ × 207. E 207 = 3 × 69 = 3 × 3 × 23 = 3² × 23. Logo, 26.496 = 2⁷ × 3² × 23.
Comparando as fatorações:
2.783 = 11² × 23
26.496 = 2⁷ × 3² × 23
Ambos têm o fator primo 23 em comum. Portanto, o MDC(2.783, 26.496) = 23, que é maior que 1. Logo, os números não são relativamente primos.
A banca tenta induzir o candidato a verificar apenas a divisibilidade por 2 e por 3, e como 2.783 é ímpar e não é divisível por 3, concluir precipitadamente que são primos entre si. Mas o divisor comum é um primo maior: 23. A lição é: para verificar se dois números são primos entre si, é preciso fatorar ambos e comparar os fatores primos — não basta testar os primeiros primos.
Número | Fatoração | Divisível por 3? | Divisível por 23? | MDC com o outro |
|---|---|---|---|---|
2.783 | 11² × 23 | Não (soma = 20) | Sim | 23 |
26.496 | 2⁷ × 3² × 23 | Sim (soma = 27) | Sim | 23 |
A afirmação está errada, pois os números possuem o fator primo 23 em comum, como demonstrado pela fatoração. O MDC é 23, não 1. Portanto, não são relativamente primos.
Gabarito: letra E (ERRADO).
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