Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

Resto da divisão de 31¹⁰ por 8

Gabarito: letra E (Errado). O resto da divisão de $31^{10}$ por 8 é 1, não 7. Isso decorre de uma propriedade fundamental da aritmética modular: como $31 \equiv 7 \pmod{8}$ e $7 \equiv -1 \pmod{8}$, temos $31^{10} \equiv (-1)^{10} \equiv 1 \pmod{8}$. Portanto, a afirmação de que o resto é 7 está incorreta.

A questão explora a aritmética modular (ou congruências), um tópico clássico em problemas de divisibilidade e restos. A ideia central é que, para encontrar o resto de uma potência, podemos substituir a base pelo seu resto na divisão pelo módulo, pois a operação de potenciação preserva a congruência. No caso, $31$ dividido por $8$ deixa resto $7$, que é congruente a $-1$ módulo $8$. Como o expoente é par (10), o resultado da potência de $-1$ é $1$, e não $-1$ (que corresponderia ao resto 7).

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a pensar que, como $31 \div 8$ deixa resto 7, então $31^{10} \div 8$ também deixaria resto 7. Isso é falso: a regra correta é que o resto de uma potência é o resto da potência do resto, ou seja, $31^{10} \equiv 7^{10} \pmod{8}$. E como $7 \equiv -1$, temos $7^{10} \equiv (-1)^{10} = 1$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o resto é 7. O erro está em supor que o resto da potência é igual ao resto da base. Na verdade, $31 \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$, e como o expoente é par, $31^{10} \equiv (-1)^{10} = 1 \pmod{8}$. Portanto, o resto é 1, não 7.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação de que o resto é 7 está errada. O resto correto é 1, como demonstrado pela aritmética modular. A alternativa E, que nega a afirmação, é a resposta correta.

Gabarito: letra E