Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

Dízimas periódicas e decimais finitos

Gabarito: ❌ ERRADO. A expressão $\frac{2,43}{0,84} - \frac{1,35}{3,24}$ não é uma dízima finita: o resultado é uma dízima periódica (aproximadamente $2{,}892857142857\ldots$), pois a fração irredutível correspondente tem denominador com fator primo diferente de 2 e 5. A afirmação está incorreta.

Para decidir se um número racional é decimal finito ou dízima periódica, basta analisar a fração irredutível: se o denominador tiver apenas os fatores 2 e 5, o decimal é finito; se tiver qualquer outro fator primo, será uma dízima periódica. Vamos aplicar isso à expressão.

Primeiro, convertemos cada decimal em fração:

• $2,43 = \frac{243}{100}$

• $0,84 = \frac{84}{100}$

• $1,35 = \frac{135}{100}$

• $3,24 = \frac{324}{100}$

Agora calculamos cada divisão:

$\frac{2,43}{0,84} = \frac{243/100}{84/100} = \frac{243}{84}$

Simplificando: $\frac{243}{84} = \frac{81}{28}$ (dividindo por 3).

$\frac{1,35}{3,24} = \frac{135/100}{324/100} = \frac{135}{324}$

Simplificando: $\frac{135}{324} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ (dividindo por 9 e depois por 3).

A expressão fica:

$\frac{81}{28} - \frac{5}{12}$

O MMC de 28 e 12 é 84. Então:

$\frac{81}{28} = \frac{81 \times 3}{84} = \frac{243}{84}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 7}{84} = \frac{35}{84}$

Subtraindo:

$\frac{243}{84} - \frac{35}{84} = \frac{208}{84}$

Simplificando por 4: $\frac{52}{21}$.

A fração irredutível é $\frac{52}{21}$. O denominador 21 = 3 × 7, que contém fatores primos diferentes de 2 e 5. Portanto, a representação decimal é uma dízima periódica, não um decimal finito.

De fato, $\frac{52}{21} = 2,476190476190\ldots$, com período 476190. A afirmação do item é falsa.

✅ CERTO se o resultado fosse decimal finito; ❌ ERRADO porque é dízima periódica. Gabarito: ❌ ERRADO.