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Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaÁlgebra
Código
ce207676
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
InoversaSul
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática - Anos Finais
A respeito das operações com números no sistema decimal, julgue o item que se segue.O produto entre os números Imagem associada para resolução da questão
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

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Álgebra: Operações com Radicais

✅ CERTO. O produto entre os números 3−1\sqrt{3} - 1 e 4+23\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} é, de fato, igual a 22. Para resolver, simplificamos o radical duplo 4+23\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} buscando dois números cuja soma seja 44 e cujo produto seja 33, o que resulta em 3+1\sqrt{3} + 1. Ao multiplicar (3−1)(3+1)(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1), aplicamos o produto notável da diferença de dois quadrados, obtendo (3)2−12=3−1=2(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2.

Análise detalhada

O radical duplo A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} pode ser simplificado na forma x+y\sqrt{x} + \sqrt{y} se existirem xx e yy tais que x+y=Ax+y=A e xy=Bxy=B. No caso de 4+23\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}:

  1. Identificamos A=4A=4 e B=3B=3.

  2. Procuramos dois números que somados resultem em 44 e multiplicados resultem em 33. Esses números são 33 e 11.

  3. Portanto, 4+23=3+1=3+1\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1.

Agora, realizamos o produto solicitado:

P=(3−1)⋅(3+1)P = (\sqrt{3} - 1) \cdot (\sqrt{3} + 1)

Utilizando a identidade algébrica (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2, onde a=3a = \sqrt{3} e b=1b = 1:

P=(3)2−(1)2=3−1=2P = (\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2
  1. 1Identificar A e B
  2. 2Encontrar x+y=A e xy=B
  3. 3Escrever √x + √y
  4. 4Aplicar produto notável
  5. 5Calcular resultado
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PEGA ESSA DICA!

Sempre que encontrar um radical da forma A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}, tente transformá-lo em um radical simples. A técnica de procurar dois números que somam AA e multiplicam BB é o método mais rápido e eficiente para evitar erros de cálculo em provas de álgebra.

✅ CERTO.

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