Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

Dízimas periódicas: a adição nem sempre preserva a periodicidade

Gabarito: ERRADO. A afirmação de que a adição de duas dízimas periódicas infinitas sempre resulta em outra dízima periódica é falsa, pois existem contraexemplos em que a soma é um número inteiro ou decimal exato. Por exemplo, $0,333... + 0,666... = 0,999... = 1$, e $1$ não é uma dízima periódica (é um número inteiro). A fonte é a definição de números racionais: toda dízima periódica é racional, mas a soma de dois racionais pode ser um racional com representação decimal finita.

Para entender por que a afirmação é falsa, é preciso lembrar que toda dízima periódica é um número racional, ou seja, pode ser escrita como uma fração com numerador inteiro e denominador inteiro não nulo. A soma de dois números racionais é sempre um número racional, mas a representação decimal de um racional pode ser finita (decimal exato) ou infinita periódica (dízima). A afirmação do enunciado confunde a natureza do número (racional) com a forma de sua representação decimal. O contraexemplo clássico é $0,333... + 0,666... = 0,999... = 1$, onde a soma é um inteiro, não uma dízima. Outro exemplo: $0,111... + 0,888... = 0,999... = 1$. Também podemos citar $0,5 + 0,5 = 1$, mas $0,5$ é decimal finito, não dízima. Para usar apenas dízimas, temos $0,333... + 0,666... = 1$.

A pegadinha da banca está em afirmar que a soma "sempre" será uma dízima, quando na verdade pode ser um decimal exato. O candidato que não conhece o contraexemplo tende a marcar "Certo", pois sabe que dízimas são racionais e que a soma de racionais é racional, mas esquece que a representação decimal pode ser finita.

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)

A alternativa E afirma que o item está errado, e isso está correto. A justificativa é a existência de contraexemplos como $0,333... + 0,666... = 1$, em que a soma é um número inteiro, não uma dízima periódica. Portanto, a afirmação "sempre será uma dízima periódica infinita" é falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que o item está certo, mas isso é falso. O erro está na palavra "sempre": a adição de duas dízimas periódicas pode resultar em um número inteiro ou decimal exato, como no exemplo $0,333... + 0,666... = 1$. A banca explora a generalização indevida, pois o candidato pode pensar que, como dízimas são racionais e a soma de racionais é racional, o resultado sempre será uma dízima, ignorando que a representação decimal de um racional pode ser finita.

Gabarito: ERRADO (alternativa E).