Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce209535

Correlação e variância da soma/diferença de variáveis

Gabarito: letra C — CERTO. A correlação linear entre X e Y é negativa. Isso decorre diretamente das propriedades da variância: $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$ e $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y)$ . Subtraindo a segunda da primeira, obtemos $Cov(X,Y) = \frac{Var(X+Y) - Var(X-Y)}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -0,5$ , um valor negativo, o que implica correlação negativa.

A questão explora a relação entre a variância da soma e da diferença de duas variáveis e a covariância entre elas. A covariância mede a tendência de duas variáveis variarem juntas: se positiva, quando uma cresce a outra tende a crescer; se negativa, quando uma cresce a outra tende a decrescer. A correlação é a covariância padronizada pelas variâncias, preservando o sinal. Assim, o sinal da covariância determina o sinal da correlação.

A pegadinha clássica aqui é inverter o sinal da covariância: muitos candidatos, ao verem $Var(X-Y) > Var(X+Y)$ , concluem erroneamente que a covariância é positiva. Na verdade, a diferença entre as variâncias revela o sinal oposto: se a variância da diferença é maior, a covariância é negativa.

Vamos ao desenvolvimento algébrico completo:

Fórmulas fundamentais:
$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$
$Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y)$

Subtraindo a segunda da primeira:
$Var(X+Y) - Var(X-Y) = 4Cov(X,Y)$

Substituindo os valores fornecidos:
$5 - 7 = 4Cov(X,Y) \Rightarrow -2 = 4Cov(X,Y) \Rightarrow Cov(X,Y) = -0,5$

Conclusão: como a covariância é negativa, a correlação $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ também é negativa (o denominador é sempre positivo). Portanto, a afirmação está correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca inverte o sinal da covariância. O candidato apressado vê $Var(X-Y) = 7 > Var(X+Y) = 5$ e pensa: "a diferença varia mais, logo a covariância é positiva". Mas a fórmula mostra o contrário: $Cov = \frac{Var(X+Y) - Var(X-Y)}{4}$ . Como $Var(X+Y) < Var(X-Y)$ , a covariância é negativa. Lembre-se: quanto maior a variância da diferença em relação à soma, mais negativa é a associação — é a soma que "absorve" a covariância positiva. 💪

Fórmula	Expressão	Valor
Variância da soma	Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X,Y)	5
Variância da diferença	Var(X−Y) = Var(X) + Var(Y) − 2·Cov(X,Y)	7
Diferença (soma − diferença)	Var(X+Y) − Var(X−Y) = 4·Cov(X,Y)	5 − 7 = −2
Covariância	Cov(X,Y) = (Var(X+Y) − Var(X−Y)) / 4	−2 / 4 = −0,5
Correlação	ρ = Cov(X,Y) / (σ_X · σ_Y)	Negativa (denominador > 0)

Covariância pela soma/diferença: Fórmulas (Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov, Var(X−Y) = Var(X) + Var(Y) − 2Cov); Cálculo (Cov = [Var(X+Y) − Var(X−Y)] / 4, Cov = (5 − 7) / 4 = −0,5); Conclusão (Covariância negativa, Correlação negativa)

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação "A correlação linear entre X e Y é negativa" é verdadeira. Como demonstrado, $Cov(X,Y) = -0,5 < 0$ , e a correlação tem o mesmo sinal da covariância. Portanto, a correlação é negativa.

Gabarito: letra C — CERTO.

Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2025

Correlação e variância da soma/diferença de variáveis

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO