Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2025

Média amostral de y em regressão linear simples

Gabarito: letra E (ERRADO). A média amostral de y é 12, não 10. No modelo de regressão linear simples $y = 2 + 2x + \epsilon$, com $E[\epsilon] = 0$, a média de y é dada por $E[y] = 2 + 2E[x] + E[\epsilon] = 2 + 2 \times 5 + 0 = 12$. O item afirma que a média é 10, o que está incorreto.

A questão explora a propriedade fundamental da regressão linear: a reta ajustada passa pelo ponto das médias amostrais. Isso significa que, para o modelo ajustado, o valor predito na média de x é igual à média de y. Como o modelo é $y = 2 + 2x + \epsilon$ e o erro tem média zero, a relação esperada é $E[y] = 2 + 2E[x]$. Substituindo a média de x (5), obtemos $E[y] = 2 + 10 = 12$. O desvio padrão de y (6) e a variância do erro (4) são informações que não influenciam o cálculo da média, servindo apenas para contextualizar o modelo.

A pegadinha aqui é que o candidato pode se confundir e calcular $2 + 2 \times 5 = 12$, mas depois subtrair ou adicionar algo relacionado à variância do erro, ou simplesmente errar a conta. O ponto central é que a média de y é determinada exclusivamente pela parte determinística do modelo avaliada na média de x, pois o erro tem média zero.

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que a média amostral de y é igual a 10. Isso está incorreto. O cálculo correto é:

$E[y] = 2 + 2 \times E[x] = 2 + 2 \times 5 = 12$

A média de y é 12, não 10. O erro do item está em não aplicar corretamente a propriedade de que a reta de regressão passa pelo ponto das médias. O valor 10 poderia ser obtido se a média de x fosse 4, mas o enunciado diz que é 5.

Gabarito: letra E (ERRADO).