Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2025

Teorema da Probabilidade Total

Gabarito: letra D (0,67). A probabilidade de um processo ser preenchido corretamente é a soma das probabilidades de cada modalidade, ponderadas pela respectiva participação: $P(C) = P(C|A) \times P(A) + P(C|B) \times P(B) = 0,4 \times 0,1 + 0,7 \times 0,9 = 0,04 + 0,63 = 0,67$. A questão aplica diretamente o Teorema da Probabilidade Total, pois as modalidades papel (A) e aplicativo (B) são mutuamente excludentes e exaustivas (cada interessado opta por apenas uma).

O Teorema da Probabilidade Total é usado quando queremos a probabilidade de um evento C que pode ocorrer por meio de vários caminhos mutuamente excludentes (aqui, as duas modalidades de preenchimento). A ideia é simples: a probabilidade total de C é a média ponderada das probabilidades condicionais $P(C|A)$ e $P(C|B)$, usando como pesos as probabilidades de cada modalidade $P(A)$ e $P(B)$. Como o enunciado informa que o aplicativo representa 90% dos casos, temos $P(B) = 0,9$ e, consequentemente, $P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$ (papel).

A pegadinha clássica aqui é inverter os pesos: muitos candidatos multiplicam $0,4 \times 0,9$ e $0,7 \times 0,1$, obtendo $0,36 + 0,07 = 0,43$ (que nem aparece nas alternativas), ou simplesmente somam as probabilidades condicionais sem ponderar ($0,4 + 0,7 = 1,1$, impossível). O raciocínio correto é sempre: peso = probabilidade da modalidade, não o valor da condicional.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,28 é o resultado de $0,4 \times 0,7 = 0,28$, ou seja, o produto das duas probabilidades condicionais. Esse cálculo não tem sentido aqui, pois as modalidades são mutuamente excludentes — não há interseção entre preencher em papel e por aplicativo. O produto só seria usado se os eventos fossem independentes e simultâneos, o que o enunciado exclui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,40 é simplesmente o valor de $P(C|A)$, a probabilidade de preenchimento correto quando feito em papel. A alternativa ignora completamente a contribuição do aplicativo (que representa 90% dos casos e tem probabilidade 0,7). É um distrator que confunde a probabilidade condicional com a probabilidade total.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,55 é a média aritmética simples das duas condicionais: $\frac{0,4 + 0,7}{2} = 0,55$. Esse cálculo só seria válido se as duas modalidades tivessem a mesma participação (50% cada), o que não ocorre — o aplicativo representa 90% dos casos. A média deve ser ponderada pelos pesos, não aritmética.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total com os pesos corretos: $P(C) = 0,4 \times 0,1 + 0,7 \times 0,9 = 0,04 + 0,63 = 0,67$. O resultado reflete que a grande maioria dos processos (90%) vem do aplicativo, que tem alta probabilidade de acerto (0,7), puxando a probabilidade total para perto de 0,7.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,70 é o valor de $P(C|B)$, a probabilidade de preenchimento correto por aplicativo. A alternativa ignora a parcela do papel (10% dos casos com probabilidade 0,4), que reduz a probabilidade total para 0,67. É um distrator que confunde a condicional mais alta com a total.

Gabarito: letra D