A fim de se efetuar o teste de hipóteses para certa média populacional especificado como H₀: μ = 10 versus H₁: μ > 10, tomou-se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 16 de uma população normal. A média amostral foi igual a 11 e o desvio padrão amostral, igual a 2.A partir dessa situação hipotética, assinale a opção correta.
AO nível de significância do teste de hipóteses representa a probabilidade de se rejeitar indevidamente a hipótese alternativa (H₁).
BA hipótese nula (H₀) deverá ser rejeitada quando a média amostral for superior a 10, de acordo com a hipótese alternativa (H₁).
CO valor da estatística do teste t de Student é igual a -2.
DO nível descrito do teste é superior a 50%.
EA função poder do teste em questão tende a aumentar à medida que a média populacional aumenta.
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GabaritoE — A função poder do teste em questão tende a aumentar à medida que a média populacional aumenta.
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Teste de hipóteses para a média com variância desconhecida
Gabarito: letra E. A função poder do teste — probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa — cresce à medida que a média populacional verdadeira se afasta do valor sob H₀ (μ = 10), pois a estatística do teste tende a cair na região crítica com maior probabilidade. As demais alternativas contêm erros conceituais ou de cálculo: o nível de significância é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira (erro tipo I), não a de rejeitar H₁; a rejeição de H₀ não depende apenas de a média amostral ser superior a 10, mas de a estatística do teste ultrapassar o valor crítico; a estatística t calculada é positiva (t = 2), não -2; e o nível descritivo (p-valor) é a área à direita de t = 2, que é bem inferior a 50%.
O teste em questão é o teste t de Student para uma média, utilizado quando a variância populacional é desconhecida e a população é normal. A estatística do teste é dada por:
Substituindo os valores do enunciado :
Com n - 1 = 15 graus de liberdade. Como a hipótese alternativa é unilateral à direita (H₁: μ > 10), a região crítica fica na cauda direita da distribuição t. O p-valor é a probabilidade de obter um valor de t maior que 2 sob H₀, que é uma área pequena (bem menor que 50%).
A função poder do teste, denotada por π(μ), é a probabilidade de rejeitar H₀ quando o verdadeiro valor da média é μ. Quando μ se afasta de 10 (aumenta, no caso de H₁: μ > 10), a distribuição da estatística do teste se desloca para a direita, fazendo com que uma proporção maior da distribuição caia na região crítica. Portanto, o poder aumenta monotonicamente com μ.
Caso
Atribuição
Resultado
A
α = P(rejeitar H₀ | H₀ verdadeira)
Incorreta
B
Rejeição exige t > t crítico, não apenas > 10
Incorreta
C
t = (11 − 10)/(2/√16) = +2
Incorreta
D
p-valor = P(t > 2) ≈ 0,032 < 50%
Incorreta
E
π(μ) = P(rejeitar H₀ | μ) cresce com μ
Correta
H₀ verdadeira
H₀ falsa
Não rejeita H₀
Erro tipo I (α)
Decisão correta
Rejeita H₀
Decisão correta
Erro tipo II (β)
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Alternativa A — ❌ Incorreta
O nível de significância (α) é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula (H₀) quando ela é verdadeira, ou seja, é a probabilidade do erro tipo I. A alternativa inverte os papéis, afirmando que é a probabilidade de rejeitar indevidamente a hipótese alternativa (H₁), o que caracteriza o erro tipo II (não rejeitar H₀ quando H₁ é verdadeira).
Alternativa B — ❌ Incorreta
A rejeição de H₀ não ocorre simplesmente porque a média amostral é superior a 10. É necessário que a estatística do teste ultrapasse o valor crítico da distribuição t com 15 graus de liberdade, ao nível de significância adotado. A média amostral de 11 gera t = 2, mas a decisão depende da comparação com o valor crítico tabelado (por exemplo, t crítico ≈ 1,753 para α = 5% unilateral). A afirmação ignora a variabilidade amostral e o critério estatístico.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O cálculo correto da estatística do teste é:
O valor é +2, não -2. O sinal negativo ocorreria se a média amostral fosse inferior à média sob H₀, o que não é o caso.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O nível descritivo (p-valor) é a probabilidade de obter um valor da estatística do teste tão ou mais extremo quanto o observado, sob H₀. Para um teste unilateral à direita, o p-valor é P(t > 2) com 15 graus de liberdade. Esse valor é aproximadamente 0,032 (3,2%), que é inferior a 50%. A alternativa confunde o p-valor com uma probabilidade alta, o que não se sustenta.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A função poder do teste, π(μ) = P(rejeitar H₀ | μ), é crescente com a distância entre o valor verdadeiro da média e o valor sob H₀. Quando μ aumenta (no contexto de H₁: μ > 10), a estatística do teste tende a ser maior, e a probabilidade de cair na região crítica aumenta. Portanto, o poder do teste tende a aumentar à medida que a média populacional aumenta.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre os erros tipo I e tipo II e entre o p-valor e o nível de significância. O nível de significância (α) é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira (erro tipo I), não a de rejeitar H₁. O p-valor é a probabilidade de obter um resultado tão extremo quanto o observado, sob H₀, e não uma probabilidade fixa como 50%. Fique atento: a estatística t é positiva (t = 2), e o poder do teste cresce com a distância entre μ e μ₀.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de teste de hipóteses, siga o roteiro: (1) identifique a hipótese nula e a alternativa; (2) escolha a estatística do teste adequada (t de Student quando a variância é desconhecida); (3) calcule a estatística; (4) compare com o valor crítico ou calcule o p-valor; (5) decida pela rejeição ou não de H₀. Lembre-se: o poder do teste é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa, e ele aumenta com a distância entre o valor verdadeiro do parâmetro e o valor sob H₀.