Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Intervalo de confiança para a média populacional

Gabarito: letra C. Quanto maior o nível de confiança, maior a margem de erro do intervalo — essa é a relação direta entre confiança e precisão: para ter mais certeza de que o intervalo cobre a média, é preciso alargá-lo. As demais alternativas erram ao usar a distribuição normal padrão com desvio padrão amostral e amostra pequena (o correto é a distribuição t de Student), ao confundir margem de erro com desvio padrão, ao atribuir probabilidade ao parâmetro (que é fixo) e ao calcular a margem de erro com o valor errado do quantil.

O problema pede um intervalo de confiança para a média populacional μ de uma população normal, com amostra de tamanho n = 25, média amostral x̄ = 12 e desvio padrão amostral s = 4. Como a variância populacional é desconhecida, a teoria manda usar a distribuição t de Student com n − 1 = 24 graus de liberdade, e não a normal padrão. A forma geral do intervalo é:

em que $t_{n-1;\,\alpha/2}$ é o quantil da t de Student que deixa área α/2 em cada cauda. A margem de erro é $t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$.

A pegadinha central da questão está em dois pontos: (1) a tentação de usar a normal padrão (z) quando o desvio padrão é amostral e a amostra é pequena — o correto é a t de Student; (2) a confusão entre margem de erro e desvio padrão da amostra. Além disso, a alternativa D explora o erro conceitual clássico de tratar o parâmetro μ como variável aleatória: no enfoque frequentista, μ é fixo e o intervalo é que é aleatório — a probabilidade de 0,90 se refere ao procedimento, não ao evento "μ ∈ intervalo".

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o intervalo deve ser construído com base na distribuição normal padrão. Isso só seria correto se a variância populacional fosse conhecida (ou se a amostra fosse grande o suficiente para o Teorema Central do Limite justificar a aproximação normal). Aqui, o desvio padrão é amostral (s = 4) e n = 25 é pequeno; portanto, o intervalo deve usar a distribuição t de Student com 24 graus de liberdade. A banca troca a distribuição correta para induzir ao erro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Diz que o intervalo de 95% pode ser representado como 12 ± 4. Isso confunde a margem de erro com o desvio padrão amostral. A margem de erro é $t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$, que, para n = 25, é $t \cdot \frac{4}{5} = 0,8 \cdot t$. Como t > 1 (para 95% e 24 graus de liberdade, t ≈ 2,064), a margem é aproximadamente 1,65 dia — bem menor que 4. O valor 4 é o desvio padrão da amostra, não a margem de erro.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a única afirmação verdadeira. Para um intervalo simétrico, a margem de erro é $t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ (ou $z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ se σ for conhecido). O quantil t (ou z) cresce com o nível de confiança: para 90% o quantil é menor que para 95%, que é menor que para 99%. Logo, quanto maior o nível de confiança, maior o quantil e, consequentemente, maior a margem de erro. Isso reflete o trade-off entre confiança e precisão: não se pode aumentar a certeza sem alargar o intervalo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que, se 12 ± ε representa o intervalo de 90% de confiança, então a probabilidade de μ ∈ [12 − ε, 12 + ε] é 0,90. Esse é o erro conceitual clássico do enfoque frequentista: μ é um parâmetro fixo (desconhecido), não uma variável aleatória. O intervalo é que é aleatório — antes de observar a amostra, a probabilidade de o intervalo (aleatório) cobrir μ é 0,90. Depois de calculado, o intervalo é fixo e μ ou está dentro ou está fora; não faz sentido atribuir probabilidade 0,90 ao evento "μ ∈ intervalo". A interpretação correta é: se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de 90% dos intervalos construídos conteriam μ.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que a margem de erro do intervalo de 95% é 0,8 dia. O valor 0,8 é $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4}{5}$, que é o erro padrão da média amostral, não a margem de erro. A margem de erro é o erro padrão multiplicado pelo quantil da distribuição t: $t_{24;\,0,025} \cdot 0,8$. Como $t_{24;\,0,025} \approx 2,064$, a margem é aproximadamente 1,65 dia. A banca troca o erro padrão pela margem de erro.

Gabarito: letra C.