Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce214834

EstatísticaCálculo de Probabilidades

Código: ce214834
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: SEFAZ-SE
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Auditor Fiscal Tributário - Geral

A quantidade diária X de processos gerados por um setor de determinada secretaria da fazenda segue uma distribuição de Poisson com taxa igual a 10 processos por dia. Diariamente, 20% dos processos são gerados por pessoas físicas e 80%, por pessoas jurídicas, independentemente do total de processos gerados no dia.Tendo como base a situação proposta e considerando que Y denote a quantidade de processos diários gerados por pessoas físicas, assinale a opção correta.

AA diferença X - Y segue uma distribuição de Poisson com taxa igual a 8 processos por dia
BAs variáveis aleatórias e Y e X - Y são dependentes.
CA variável aleatória Y segue uma distribuição binomial.
DSe, em determinado dia, forem gerados 10 processos, então a distribuição condicional Y|X = 10 seguirá uma distribuição de Poisson.
ESe, em determinado dia, forem gerados 5 processos por pessoas físicas, então a distribuição condicional X | Y = 5 seguirá uma distribuição de Poisson

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GabaritoA — A diferença X - Y segue uma distribuição de Poisson com taxa igual a 8 processos por dia

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuição de Poisson e rarefação (thinning)

Gabarito: letra A. Quando um processo de Poisson com taxa $\lambda$ é decomposto em duas categorias com probabilidades $p$ e $1-p$ , cada categoria forma um processo de Poisson independente com taxas $\lambda p$ e $\lambda(1-p)$ . Aqui, $X \sim \text{Poisson}(10)$ e $Y$ (pessoas físicas) tem taxa $10 \times 0{,}20 = 2$ ; logo, $X - Y$ (pessoas jurídicas) tem taxa $10 \times 0{,}80 = 8$ , e $Y$ e $X-Y$ são independentes — exatamente o que a alternativa A afirma.

O fenômeno central é a propriedade de rarefação (thinning) do processo de Poisson: se cada evento de um processo de Poisson é classificado independentemente em uma de duas categorias, com probabilidades $p$ e $1-p$ , então os dois subprocessos resultantes são processos de Poisson independentes, com taxas $\lambda p$ e $\lambda(1-p)$ . Essa propriedade decorre do fato de que, condicionado ao total $X = n$ , a distribuição de $Y$ é binomial com parâmetros $n$ e $p$ — e é essa estrutura que gera a independência entre $Y$ e $X - Y$ .

A banca explora exatamente a confusão entre a distribuição condicional (que é binomial) e a distribuição marginal (que é Poisson). O candidato que decora a fórmula da Poisson sem entender a rarefação tende a marcar a alternativa D ou E, que misturam os conceitos.

Variável / Distribuição	Marginal (rarefação)	Condicional (dado o total)
(Y) (pessoas físicas)	$\text{Poisson}(\lambda p = 10 \times 0{,}20 = 2)$	$Y \mid X = n \sim \text{Binomial}(n, p = 0{,}20)$
(X - Y) (pessoas jurídicas)	$\text{Poisson}(\lambda(1-p) = 10 \times 0{,}80 = 8)$	$X - Y \mid X = n \sim \text{Binomial}(n, 1-p = 0{,}80)$
(X \mid Y = 5)	—	$5 + \text{Poisson}(8)$ (deslocada, não Poisson padrão)
Independência entre (Y) e (X-Y)	Sim (rarefação de Poisson)	—

Rarefação de Poisson (thinning): Marginal (Y ~ Poisson(λp), X−Y ~ Poisson(λ(1−p))); Condicional (Y|X=n ~ Binomial(n, p)); Independência (Y e X−Y independentes)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Pela propriedade de rarefação, $X - Y$ (processos de pessoas jurídicas) segue Poisson com taxa $\lambda \times (1-p) = 10 \times 0{,}80 = 8$ processos por dia. Além disso, $Y$ e $X-Y$ são independentes. A alternativa está correta ao afirmar a distribuição e a taxa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $Y$ e $X - Y$ são dependentes. Na verdade, pela rarefação de um processo de Poisson, as duas variáveis são independentes. A independência pode ser verificada pelo fato de que a função geratriz de momentos conjunta fatora, ou pela propriedade de que, condicionado a $X = n$ , $Y \sim \text{Binomial}(n, p)$ e $X - Y = n - Y$ — e a independência marginal decorre da estrutura do processo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$Y$ segue distribuição Poisson com taxa $\lambda p = 2$ , não binomial. A distribuição binomial aparece apenas na distribuição condicional $Y | X = n$ , que é $\text{Binomial}(n, p)$ . A marginal de $Y$ é Poisson, pois é o resultado da rarefação de um processo de Poisson.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição condicional $Y | X = 10$ é binomial com parâmetros $n = 10$ e $p = 0{,}20$ , não Poisson. Isso decorre do fato de que, dado o total de eventos, cada evento é classificado independentemente como pessoa física com probabilidade $p$ — configurando exatamente um experimento binomial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distribuição condicional $X | Y = 5$ não é Poisson. Dado que $Y = 5$ , o número total $X$ é igual a $5 + (X - Y)$ , onde $X - Y$ é Poisson com taxa 8 (independente de $Y$ ). Portanto, $X | Y = 5$ é uma Poisson com taxa 8 deslocada por 5 (ou seja, $5 + \text{Poisson}(8)$ ), não uma Poisson padrão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a distribuição marginal pela condicional. A marginal de $Y$ é Poisson (rarefação), mas a condicional $Y|X=n$ é binomial. Quem confunde esses dois níveis marca a alternativa C ou D. Lembre: no processo de Poisson, o condicionamento no total gera binomial; a rarefação gera Poisson marginal.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de rarefação de Poisson, decore o par: $Y \sim \text{Poisson}(\lambda p)$ e $X - Y \sim \text{Poisson}(\lambda(1-p))$ , com $Y$ e $X-Y$ independentes. E lembre que $Y|X=n \sim \text{Binomial}(n, p)$ — essa é a ponte entre as duas distribuições.

Gabarito: letra A

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